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Maria Precchia 



[Memokia XXV. ì 



È evidente che possiamo supporre chiusa la serie S di funzioni ortogonali, poten- 

 dola chiudere in caso contrario con le funzioni di un sistema complementare. 



Ora, la serie S è formata da tutte le autofunzioni comuni a /> (.v, y) e q(x,y) cor- 

 rispondente ad autovalori finiti dei due nuclei che indichiamo cp, (x) ( ì— 1, 2, . . . .) , e 

 dalle autofunzioni corrispondenti all' autovalore oo per uno o per tutti e due i nuclei, che 

 indichiamo con 4*« (x) ( 1 — 1,2,....) 



Consideriamo la serie chiusa di funzioni ortogonali 



(17) cp, (.v) . rp, [y) , c P( (.v). fy(y) , ■ (.v) . <p, ( v) , <]>, (x) . (y) . <t,j= 1,2, . . .) 



Si ha, per una qualunque funzione cp, (.r) . cp^ (y) 



f a f a f(*,y) <P/ (*) % ( v) <*rrfy = \' a f a f{y,x) cp,- (x) cpj (3;) t/.vrfy = 



( -7— P er /= Ì 

 _ ) pi q, 



per i±j 



ove />,, c/, sono gli autovalori rispettivamente di p (x,y) e q (x, y) corrispondente all' au- 

 tofunzione cp, (.v) ; e quindi 



fa fa ! / ( - v - ~/(~ v > - v ) { q> i {x)(p j (y) dxdy = 0. 



Inoltre risulta per qualunque altra funzione g (x, y) della serie (17) 



j a f a f{x,ylg[x,y)dxdy = J a f (y, x) g \x,y) dxdy = 



e quindi 



f° a il ) - f(y, x) > g{x,y) dxdy = 



ed essendo la serie (17) chiusa risulta che : 



fi*,y) =f(y,x). 



Quindi le funzioni p {x,y) e q (x,y) sono permutabili. 



