Sopra l'algebra delle funzioni permutabili di 2" specie 



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§ 2. 



Risoluzione dell'equazione integrale di 1° grado 



f(x, y) = p X [x,y) ■ 



6. Premesso ciò consideriamo 1' equazione integrale di 1° grado : 

 (18) f(x,y) = pXix,y) 



ove f(x,y) e p(x,y) sono funzioni simmetriche ad autofunzioni reali, e proponiamoci dì 

 risolvere tale equazione mediante nuclei simmetrici ad autofunzioni reali. 



Osserviamo subito che pel teorema del n. 3 è necessario affinchè la (18) ammetta 

 una soluzione simmetrica ad autofunzioni reali che le autofunzioni del nucleo f{.v,y) siano 

 anche autofunzioni del nucleo p{.\\y); ed inoltre indicando con 



(19) cp.U-), <p, (*),.... 



un sistema completo di autofunzioni ortogonali del nucleo p{x,y), con 



(19') ^ (*), q>„, (*),...- 



le funzioni della serie (19) che sono anche autofunzioni di f(x,y), e con p , (v=l, 2 ...) : 

 f (v=l,2, ...) gli autovalori rispettivamente dei due nuclei p(x,y)e f(x,y) corrispon- 

 denti alle autofunzìoni q> n (x) , (v = 1, 2, . . . ) , è necessario pure che risulti convergente 

 la serie 



■ V 



Infatti la soluzione X \x, v) deve ammettere come autovalori le costanti /' 



■ V 



p 



Queste condizioni sono anche sufficienti affinchè 1' equazione (18) ammetta una solu- 

 zione simmetrica ad autofunzioni reali. 



Supponiamo in primo luogo che il sistema (19) non sia chiuso e indichiamo con 



(21) 0,(.r), 6, (*),.... 



una successione di funzioni ortogonali scelta ad arbitrio in un sistema complementare al 

 sistema (19). 



