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Maria Precchia 



[Memoria XXV.] 



Ordiniamo in un'unica serie le funzioni (19') e (21), sia questa: 



X, (x) , X s (x) 



ed associamo ad essa una serie di costanti : 



(23) 



k 



1 5 



k, 



in modo che alle funzioni X r (.v) coincidenti con le <p^ (x) corrispondano le costanti = 



n ■ 



e alle rimanenti funzioni coincidenti con le G; (x) corrispondano costanti arbitrarie, tali però 

 che la serie 



risulti convergente. 



La funzione X(x,y) la quale ammette come sistema completo di autofunzioni orto- 

 gonali il sistema (22) e come corrispondenti autovalori le costanti (23) è pel teorema al 

 n. 3 soluzione dell'equazione (18). 



Si hanno quindi, nel caso che il sistema di funzioni ortogonali (19) non sia chiuso, 

 infinite soluzioni dell'equazione (18), ciascuna in corrispondenza alla scelta delle funzioni 

 ortogonali 0, (x), ( i — 1, 2, . . . ) in un sistema complementare al sistema (19) e alla scelta 

 delle costanti arbitrarie k,.(r~= 1,2,....) soddisfacenti alla condizione che converga la 



fi 



serie (24) e che si abbia k,. — — — tutte le volte che la corrispondente funzione X,. (x) 



P 



coincida con una cp [x) . i 



Se il sistema (19) di funzioni ortogonali è chiuso," sempre nelle ipotesi fatte in prin- 

 cipio, è evidente che la soluzione dell'equazione (18) è unica. 



Essa è quella funzione che ammette come sistema completo di autofunzioni ortogo- 



Si conclude quindi: 



Affinchè V equazione integrale di primo grado (18), ove f(x, y) e p ( x, y) sono 

 funzioni simmetriche, ad auto/unzioni reali ammetta una soluzione simmetrica 

 ad auto/unzioni retili è necessario e sufficiente che le auto/unzioni di f (x, y) siano 

 anche auto/unzioni di p (x, y) e che converga la serie: 



(24) 



nali il sistema (19') e come 



ove p n ( i = 1,2,....) sono gli autovalori di p (x, y) corrispondenti alle auto/un- 



ì 



zioni che sono anche auto/unzioni di i'(x y); ed fj sono i corrispondenti autova- 

 lori di f(x, y) ; sotto queste condizioni, se il sistema delle auto/unzioni ortogonali 



