Sopra l'algebra delle Illusioni perni ni abili di 2 a specie 17 



di p (x, y) è chiuso, si ha una sola soluzione dell' equazione ; se invece il sistema 

 delle autofunzioni ortogonali di p (x, y) non è chiuso, V equazione (18) ammette 

 infinite soluzioni. 



L' equazione (18) può avere ancora una delle forme particolari 



(18') c = "p X {x,y) 



ove c è una costante diversa da zero ; e 



(18") = pX(x,y) 



In base a ciò che si è detto al n. 4, per l'equazione (18') si ha che condizione ne- 

 cessaria e sufficiente, affinchè essa ammetta una soluzione simmetrica ad auto- 

 funzioni reali, è che il nucleo p (x, y) abbia come auto funzione normalizzata, cor- 

 rispondente ad autovalore finito, la costante 1/ — ! — . Si osservi che se il sistema 



* b — a 



delle autofunzioni ortogonali del nucleo p (x, y) è chiuso, la (18 ) è soddisfatta soltanto dalla 



costante che ammette come autovalore — — \ — - , cioè dalla costante cp , ove con p 



cp {b—a) r 



indichiamo 1' autovalore di p(®,y) corrispondente all' autofunzione normalizzata y — 1 — 



* b — a . 



In quanto all'equazione (18") è evidente che la risoluzione di essa si riduce alla ri- 

 cerca delle funzioni simmetriche, ad autofunzioni reali, le quali siano ortogonali con la 

 p(x,y). Si ha quindi che condizione necessaria e sufficiente affi eh è l'equazione (18") 

 ammetta soluzioni simmetriche ad autof unzioni reali, è che il nucleo p (x, y) non 

 sia chiuso. 



7. Vogliamo ora vedere se, dato un nucleo simmetrico K(x,y), esiste una funzione 

 simmetrica U (x, y), che goda rispetto a quel nucleo della proprietà : 



(25) K(x,y) — KÙ{x,y). 



La funzione U (a?, y) si può chiamare funzione identica relativa al nucleo K (x,y). 



In base alla teoria delle equazioni integrali di 1° grado possiamo subito dire che se 

 il nucleo K (so, y) ammette un numero infinito di autovalori la funzione identica U(x,y) 

 non esiste. 



Indicando infatti con 



un sistema completo di autofunzioni ortogonali del nucleo K(x, y) e con 



i corrispondenti autovalori, sappiamo che, affinchè l'equazione (25) ammetta soluzioni, 

 deve essere convergente la serie 



(26) 2 t - |f 



e questa condizione non è certamente soddisfatta. 



ATTI ACC. SURI H V. VOL. X. — Mem. XXV. 



3 



