Sopra V algebra delle funsioni permutabili di 2 a specie 19 



Se X(x,y) = X' {x,y) -\- i X" (oc, y) è una soluzione simmetrica, ad autofunzioni tutte 

 reali dell'equazione (28); essa ( lu ) dovrà ammettere come autovalore una almeno delle 



n n 



radici n'' s "" a di \ t (i= l, 2 ), e quindi posto l/x< = \i t = [i, ^ /)>." e \f \ =p t , 



( i ' — 1,2,...), il nucleo X' (x, y) dovrà ammettere come autovalori le costanti -U- 



rl 



[i = 1,2,...), e il nucleo X" (x, y) dovrà ammettere come autovalori le costanti -Mr 



ri 



(i — 1, 2,...). Segue che è necessario, per la sommabilità delle funzioni X (x,y) e X'' (x,y) 

 e dei loro quadrati che siano convergenti le serie 



2 



— p, 4 ' — Pi 4 



e quindi anche la serie : 



od 2,w- 



9. La convergenza della serie (31) che, abbiamo visto, è condizione necessaria affin- 

 chè l' equazione (28) ammetta una soluzione simmetrica, ad autofunzioni reali, è anche 

 condizione sufficiente. 



Infatti, nell'ipotesi che la serie (31) sia convergente, indichiamo con 



q> ■ +, (*) , <Py +2 (*) , • • • %• +t {*) , 



- v v v 



le autofunzioni di p(x,/j) corrispondenti all' autovalore Xv, e con 



(f/S= 1,2, • • •/). 



gli elementi della più generale sostituzione ortogonale d' ordine /, e consideriamo le fun- 

 zioni : 



t 



(r= 1, 2.../) 



Operando analogamente sugli altri gruppi di autofunzioni qp (x) del nucleo p(w,y), 

 corrispondenti a tutti gli autovaloii X della serie (30) che sono distinti fra di loro, si ot- 

 tiene il sistema di funzioni ortogonali 



'32) ^,(.v), M-v), 



che costituisce pure un sistema completo di autofunzioni ortogonali del nucleo p (•*',//). 



( ,0 ) l. c. ( 9 ). 



