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Maria Precchia 



Memoria XXV.] 



Poiché la serie (31) è convergente, esiste una e una sola funzione simmetrica, X (x,y) 

 sommabile insieme al suo quadrato, la quale ammette come sistema completo di autofun- 

 zioni ortogonali il sistema (32), e come corrispondenti autovalori le costanti 



n n 

 |A , \/\ , 



ove ciascun radicale va preso con una sola determinazione, ed è rapprasentata dalla serie : 

 (33) X (s, ,) = § = 2 ~™ + 



' * ]/ K ""+' [/ K 



ove m l} ?//.,, .... è una serie di numeri interi positivi e crescenti. 

 Questa funzione è soluzione dell' equazione (28). 



n 



Infatti, qualunque sia la determinazione delle \ i , (t — 1, 2, . . .), il nucleo reiterato 

 X n (x,y) ammette come autovalori le costanti X, (/ = 1,2,....) corrispondenti alle au- 

 tofunzioni (32), ma anche la funzione p (x,y) soddisfa a queste proprietà, quindi dovrà 

 essere : 



X™ (x,y) = p (x, y). 



Inoltre è evidente ( n ) che qualunque nucleo avente le autofunzioni tutte reali , e 

 avente come reiterato d' ordine n la funzione p (.v, y) può essere ottenuto col metodo pre- 

 cedente. Quindi, indicando con / il numero degli autovalori del nucleo p [x,y), (l poten- 

 zi 



do essere anche uguale ad oo), poiché sono // le determinazioni di y X,- il numero 

 delle possibili serie di autovalori delle soluzioni X(x,y) dell'equazione (28) è n l . Per cia- 

 scuna di queste serie si hanno poi in generale diversi nuclei X (x; y) in corrispondenza 

 ai diversi sistemi di coefficienti a rs delle sostituzioni ortogonali che si considerano per de- 

 durre il sistema di funzioni ortogonali (32) dal sistema (29). 



Si ha ancora che se X (x,y) è soluzione dell' equazione (28), anche le funzioni : 



£ X (x, v) , £ 2 X Or, »),..., s"- 1 X (x, y) 



ove £ è una radice n esima dell'unità, sono soluzioni dell'equazione (28). Un tale sistema 

 di soluzioni vien detto ciclico. Se si moltiplica una qualunque delle funzioni di un sistema 

 ciclico successivamente per le n radici n esima dell' unità si riottiene lo stesso sistema or- 

 dinato diversamente, e quindi due diversi sistemi ciclici di soluzioni non possono avere 

 nessuna funzione in comune. 



(") L. c. (io) n. 6, 8. 



