Sopra V algebra delle funzioni permutabili di 2 a specie 21 

 Si conclude quindi : 



condizione necessaria e sufficiente affichè V equazione integrale binomio, (28), ove 

 p (x, y) è un nucleo simmetrico, ad auto/unzioni reali, ammetta soluzioni è che 

 sia convergente la serie 



2L ir 



ove p< = 



[/ X, e X, (i = 1,2,...) sono gli autovalori del nucleo p (x, y); soddisfatta 

 questa condizione si hanno infinite soluzioni simmetriche, ad autofunzioni reali, 

 dell" equazione (28), tutte contenute nella formula (33) e che si possono scindere 

 in sistemi ciclici di \\ soluzioni ciascuno. 



§ 4. 



Risoluzione dell' equazione integrale di 2° grado 



X <'-'> (x, y)+p X (.v, y) + q {x, y)=0 



10. Consideriamo l' equazione integrale di 2° grado : 



•(34) X< 2 > (*, y)+p X (x, y) + q (», y) = 



ove p (x, v) e q (x,y) sono funzioni simmetriche, ad autofunzioni reali. 



Si vuol risolvere 1' equazione (34) mediante nuclei simmetrici ad autofunzioni reali. 

 Se À" 4 (j;, y) è una tale soluzione, si ha: 



p X\ (x, y) = -\ AV 2) (*, y) + q (a?, y) ] 



e poiché A' (2) (x,y) -j- q(x,y) è una funzione simmetrica, se ne deduce che la soluzione 

 X l (x, y) è permutabile eon la funzione nota p (x, y). Segue allora che la funzione 



q {x, y)~- X® (x, y)-'p X t {v, y) 



deve essere permutabile con la funzione p (x, y). 



Inoltre si verifica che se X i {x,y) è soluzione dell'equazione (34), è anche soluzione 

 della stessa equazione la funzione: 



(35) Z 2 (x, y)=z—p (x, y) - X i (x, y) 



la quale risulta permutabile con la funzione A', (•*", y) e soddisfa alla relazione : 



(36) 



X t A 2 {x, y) = q (x, y) 



