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Maria Precchia 



I Memoria XXV. j 



Un sistema così fatto di soluzioni X i (x, v), X 2 {x,y) dell'equazione (34) vien detto 

 ciclico. 



Si ha ancora, per la permutabilità delle funzioni p (so, y) e X t (x, y) che deve esistere 

 una serie S di funzioni ortogonali contenente le loro autofunzioni ; dalla (35) risulta che 

 la serie S deve anche contenere le autofunzioni di X 2 (x,y), e dalla (36) che deve con- 

 tenere pure le autofunzioni di q (x, y). 



Dalle (35) e (36) si ha: 



(37) | A ; 4 (x, u - X 2 (x, y) f ] = p« (x, y) - 4q (x, y) ; 



la funzione p m (x, y) — 4q{x,y) vien detta discriminante dell'equazione (34) e si in- 

 dica con A (.v, y). 



Le autofunzioni ortogonali del discriminante saranno certamente contenute nella se- 

 rie S di funzioni ortogonali, e precisamente, indicando con 



(38) M 2 (*), 



la serie S di funzioni ortogonali, e con 



Pi, Pi, 



q i , q,, 



i corrispondenti autovalori rispettivamente di p(x, y) e q(x,y) , ove alcune delle p t e alcune 

 delle q s possono essere oc , si ha che le funzioni (38) sono autofunzioni di A (x,y) corri- 

 spondenti agli autovalori A, = — — - — j- . E poiché X l (x, y) — X2 [x, y) è una soluzione 



simmetrica, ad autofunzioni reali, dell'equazione binomia (37), risulta che deve essere con- 

 vergente la serie 



(39) X Ì ' 



Si ha quindi : affinchè V equazione (34) ammetta soluzioni sono condizioni ne- 

 cessarie che le funzioni note p (x, y) e q (x, y) siano permutabili e che sia conver- 

 gente la serie (39). 



11. Queste condizioni dimostrate necessarie affinchè l'equazione integrale (34) am- 

 metta soluzioni ad autofunzioni reali, sono anche sufficienti. 



Siano p (x, y) e q (x, y) permutabili e sia convergente la serie (39). 



Poiché p (x, y) e q (x, y) sono permutabili deve esistere una serie S di funzioni or- 

 togonali contenente tutte le loro autofunzioni, sia questa la serie (38). Essa conterrà pure 

 evidentemente le autofunzioni del discriminante A (x,y)= p {2) {x, y) lq(x,y). 



