Sopra V algebra delle funzioni perniili abili di 2 a specie 



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Inoltre essendo convergente la serie (39) esisteranno infinite soluzioni, ad autofunzioni 

 reali dell' equazione integrale binomia : 



(40) H {2) (x,y) = A (x,y) 



le quali avranno le stesse autofunzioni del discriminante A (x, v) e quindi le loro auto- 

 funzioni saranno contenute nella serie S di funzioni ortogonali (38). 

 Sia H (x, y) una qualsiasi di tali soluzioni, poniamo : 



X^x.y) -f X 2 (.v,v) = -p(x,y) 



(41) 



Z ( (x,v) - X. 2 (x,y) = H(x,y) 



risulta allora : 



A - {x<y) = -p + . 



Si verifica che la funzione À' ( (x, y) è soluzione dell' equazione (34), e quindi per la 

 l a delle (41) anche la X 2 (x, y) è soluzione dell'equazione (34). 



Le soluzioni X i (x, y) e X 2 (x, y) ammettono evidentemente come autovalori, corri- 

 spondenti alle autofunzioni della successione (38), rispettivamente : 



ove il segno avanti il radicale che comparisce nelle X, è lo stesso di quello avanti il radi- 

 cale degli autovalori A, • = + 1/ — — della soluzione H (x, v) che si è con- 



pi Qi 



siderata dell' equazione (40) , e il segno avanti il radicale che comparisce nelle è il 

 contrario di quello degli autovalori di H {x, y). 



Si hanno quindi infinite coppie di soluzioni cicliche dell'equazione integrale (34) in 

 corrispondenza alle infinite coppie di soluzioni cicliche dell'equazione integrale binomia (40). 

 Infatti è evidente che le due funzioni H{x,y) e — H(x,y) di una coppia di soluzioni 

 cicliche dell'equazione (40) danno luogo ad una stessa coppia di soluzioni dell'equa- 

 zione (34). 



Si conclude quindi: 



Affinchè V equazione integrale di 2° grado (34), ove p (x, y,) e q (x, y) sono 

 funzioni simmetriche, ad antofunzioui reali, animella soluzioni simmetriche ad 



