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Maria Precchia 



[Memoria XXV.] 



auto/unzioni reali, è necessario e sufficiente die le funzioni note siano pennuta 

 bili e che sia convergente la serie : 



*Ji I pi Qi 



ove pi e q< sono gli autovalori rispettivamente dei nuclei p (x, y) e q (x, y). 



Per ottenere tutte le soluzioni dell'equazione (34) si costruisca una serie S di fun- 

 zioni ortogonali contenente tutte e sole le autofunzioni di p {x, y) e q (x, y), sia essa: 



io, (x) , w, (x) , 



Siano pi, p z , ; e q t , q 2 , le corrispondenti serie di autovalori rispettivamente 



dei nuclei p (x, y) e q (x, y). 



La funzione X {x, y) che ha come autofunzioni le funzioni w, ■(/ — 1,2, ...) e come 

 corrispondenti autovalori una delle serie di costanti 



+ 



Pi ~ V Pi Q, 



è, per ciò che si è avanti detto, soluzione dell'equazione (34). 



Le infinite soluzioni dell'equazione (34) si hanno considerando i vari sistemi S di 

 funzioni ortogonali contenenti tutte e sole le autofunzioni di p (x, y) e q (x, y), e per 

 ognuno di questi sistemi tutte le possibili serie (42) di autovalori corrispondenti alla scelta 

 del segno avanti ciascun radicale. 



12. Da quanto è stato detto segue il teorema: 



Date due funzioni simmetriche p (x, y) e q (x, y), ad autofunzioni reali, le con- 

 dizioni necessarie e sufficienti affinchè esistano due funzioni simmetriche, ad au- 

 tofunzioni reali, permutabili fra loro, che abbiano per somma p (x, y) e come 

 prodotto q (x, y), sono che le funzioni p (x, y) « q (x, y) siano permutabili, e che sia 

 convergente la serie (39). 



§ 5. 



Risoluzione dell'equazione integrale di 3° grado 



(x, y) + X® Or, y) + a t X (x,y) + a 3 (x, y) = 



13. Consideriamo l'equazione integrale di 3° grado: 



(43) A'< : " (x, y) + a t X m ( x, y) + à. 2 X (x, y) + a 3 (x, y) = 



ove a ì (x, y), a. 2 (x,y), a 3 [x,y) sono funzioni simmetriche, ad autofunzioni reali. 



