Sopi ti F algebra tirile funzioni permutabili di 2 a specie 



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Supposte le funzioni simmetriche date a L (x,y), a.,(x,y), a 3 (x,y) permutabili due 

 a due fra loro, proponiamoci di risolvere 1' equazione precedente mediante nuclei simme- 

 trici ad autofunzioni reali, permutabili con le funzioni note a l (x,y), a*(\\y), a 3 (oc, y). 



Queste condizioni risultano necessarie, come si può subito vedere, se in particolare 

 la funzione a { (x, y) è costantemente nulla. Ad un' equazione di questo tipo 



(43') Z< : " (x, y) + p X (x, v) + q {x, y) = 



possiamo nell'ipotesi contraria sempre ridurci, mediante la sostituzione 



X (x, y) = X (x, y) — ~ àf ] (x, y) 



e le funzioni p (x, y) e q (x, y) saranno legate alle funzioni a i (x,y), a 2 (se, y) , a 3 (x, y) 

 dalle relazioni 



p(x,y) 



(44) 



Q [x, y) 



Infatti essendo le funzioni a L (x,y), a 2 (x,y), a 3 (x,y) permutabili due a due fra di 

 loro esisterà una serie S di funzioni ortogonali contenente tutte le loro autofunzioni. Dalle 

 (4-1) risulta che questa serie contiene pure le autofunzioni di p[x,y) e q {x. y) e quindi 

 p (x,y) e q {x,y) sono permutabili fra di loro e con le funzioni a i (x,y), a % (x, y) , a 3 (x,y). 



Inoltre se X (.r,y) è soluzione dell' equazione (43'), poiché essa è permutabile con le 

 funzioni p (x, y) e q (x, y) dovrà esistere una serie S, di funzioni ortogonali contenente 

 le autofunzioni di X(x,y), p (x,y) e q(x,y)', ma dalle (44) risulta che le autofunzioni 

 di a i [x. y) ed a z (.r, //) sono anche autofunzioni di p (oo,y) e le autofunzioni di a l (x,y), 

 a 2 {x,y), a 3 (x,y) sono anche autofunzioni di q (x, y), segue che la serie S, dovrà con- 

 tenere pure le autofunzioni di a { (x,y), a. 2 (x,ij), a 3 {x,y) ossia che la funzione X (x,y) 

 è permutabile con le funzioni a l (x,y), a t (x,y), a 3 (x, y). Ma allora anche la funzione 

 X (x,y) - — a l (a?, y) che, come facilmente si verifica, soddisfa V equazione (43) sarà 

 permutabile con le funzioni note a l (x,y), (i-ì{x,y), ct 3 (x,y). 



Nello stesso modo si vede che se X (x, yj è soluzione dell' equazione (43) permuta- 

 bile con le funzioni a, {x, v), a 2 (x,ij), a 3 (x,y), la funzione X(x,y)-\ — — a l {x,y) sarà 



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soluzione dell'equazione (43') e risulterà permutabile con le funzioni p (x, .'/) e q (x, //). 



14. Supponiamo ora che X L (x,y) sia una soluzione simmetrica ad autofunzioni reali 

 dell' equazione (43 ) e consideriamo l' equazione integrale di 2° grado 



(45) X {2) (x, y) + X t X (x, v) + ; p (x, y) + X?> (x, y) j = . 



ti, (x.y) — àf (x, y) 



= " 3 &,y) + 



àV (x,y) 



à\a., [x, il) 



Se 1' equazione (45) ammette una soluzione À' 2 (x } y), questa funzione risulta permu- 



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