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Maria Precchia 



[Memoria XXV.J 



tabile con le funzioni X i (z,y) e p (x, y) -f- X/ 2 ' [%,y) e quindi anche con la funzione 

 p (•»", y) — Xf (•*', y) — X, X 2 (.'/•, //) - Xf (*, v). Si ha perciò 



= j X - A 2 j | X< 2 > (.r, y) -f X, X, (.r,y) -f p (.v, 3 ') + Xf U~, 3 ') j = 

 XfK^H-pXJx.^ + ^^r,^) - ì Xi 3 >(^)+pX t v%y) + g(^,3?) j 

 e poiché Xj (x, y) è soluzione dell'equazione (43'), sarà 



Xf{x,y) + pX 2 (x,y) + g(-v,.v) = 0, 



cioè, s£ /' equazione di 2° grado (45) ammette soluzioni queste sono pure soluzioni 

 dell' equazione di 3° g rado (48'). 



Siano X 2 (x,y) e X 3 (x, y) due soluzioni cicliche ( l2 ) dell'equazione (45), esse sono 

 permutabili fra di loro e con la funzione X, {x, y) e quindi anche con la funzione 



p (x, y) = XÌ l) (.v, y) — X 4 X 2 (%, y) - - X/ 2) (a?, y) e con la funzione q (x, y) = — 



Xf* {x,y) -\- p X, [x,y)ì, ed insieme alla A'; [x,y) soddisfano alle relazioni: 



A, (x,y) -4- A 2 (.r, 3 -f X 3 [x, v) = 



X, A 2 (.v, v) 4 X, X 3 (x, y) + X t X 3 (x, y) = X 4 1 A 2 (.r, y) 4 A 3 v, ] + X, A 3 (x, y) == 



= - AT (*, .//) + /> (.v, v) + A7> {x,y) = /> (.r, v) 

 X 4 A 2 A 3 (.v, v) = - ?(.v, v). 



15. Ciò posto definiamo sistema di soluzioni cicliche dell' equazione (43') tre so- 

 luzioni simmetriche, ad autofunzioni reali, X, (x, y), Xi (x,y), Xt [x,y) permutabili fra di 

 loro due a due e con le funzioni note, soddisfacenti alle condizioni : 



(46) X,{x,y) + A 2 (.v,v) + X 3 (x,y) = 



(47) X, A 2 (x, y) -f A, X s (x, y) + A s A 3 [x, y) = p (x, y) 



(48) X, X s X 3 [x, y) = - q {x, y) . 



Ricerchiamo le condizioni necessarie e sufficienti affinchè l' equazione (43') ammetta 

 un sistema di soluzioni cicliche. 

 Indichiamo con 



(49) », (.v) , co, [x) 



Cfr. n. io, § 4 . 



