Sopra r algebra delle funsioni permutabili di 2 a specie 



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un sistema di funzioni ortogonali contenente tutte e sole le autofunzioni di p (x,y) e 

 q (x, y), e con 



(50) p lt p % ,. ... 



(51) q t , q t , 



i corrispondenti sistemi di autovalori rispettivamente dei due nuclei, ove alcune delle p, e 

 alcune delle q L possono essere infinite. 



Supposto che X i (x, y), Xz{x,y), X 3 (x,y) siano tre soluzioni cicliche della (43') po- 

 niamo : 



(52) H, {x, y) = X, (x, y) -f e X, {x,y) -f s 2 X 3 (x, y) 



(53) H s (x,y) = X t (x, y) -f s 2 X 2 (x,y) + e X 3 (x, y) 



ove e è una radice cubica primitiva dell' unità. 



Le funzioni H t {x,y) ed H % {x,y) risultano permutabili fra di loro e con p (x,y) e 

 q(x,y), e si ha per le (52), (53) e per le (46), (47), (48): 



(54) (x, y) + (x, y) = — 27 q (x, y) 



(55) È® (x, y) = — 27 j>< ;1 > [x, y) 



cioè (n. 12 § 4), (x,y), Hj' :>ì (x,y) formano un sistema di soluzioni cicliche dell'e- 

 quazione integrale di 2° grado 



(56) Z (2 > (x, y) -f 27 q Z (x,y) - 27 'p^ (x, y) = 

 e quindi dovrà essere convergente la serie 



(57, 



2 



+ 



4.27 



9i P'< 



Le soluzioni (x, y), H^ 3) (x,y) dell'equazione (56) ammettono come autovalori 



corrispondenti alle auto funzioni del sistema (49), rispettivamente una determinata delle se- 

 rie di costanti: 



