Mar/a Precetti a 



[Memoria XXV.] 



ove il doppio segno avanti ai radicali indica che se il radicale che comparisce in X', è 

 preceduto dal segno -j-, quello che comparisce in X'/ deve essere preceduto dal segno — , 

 e viceversa. 



Segue da ciò che le funzioni H l (x, y) ed H%{x,y) aventi come reiterati rispettiva- 

 mente le funzioni {x, y) ed H 2 {3) (x, y) , devono ammettere come autovalori corri- 

 spondenti alle autofunzioni del sistema (49), rispettivamente una determinata delle serie di 

 costanti , (§ 3): 



h'i = J, ]/' V > (i=ì,2,....) 



h'i = ; 2 1/ k c= 



e quindi dovranno essere convergenti le serie : 



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ove i segni avanti ai radicali sono determinati, e sono quelli avanti ai radicali nelle espres- 

 sioni delle X', e X? rispettivamente. 



16. Le condizioni che p [x,y) e q (x,y) siano permutabili e che convergano la se- 

 rie (57) e una coppia di serie (60), (61) che, abbiamo visto sono necessarie per 1' esistenza 

 di soluzioni cicliche dell' equazione (43 ), sono anche sufficienti. 



Infatti poiché la serie (57) è convergente esisteranno soluzioni dell'equazione (56): 

 siano Z, ( r, v), Z.{x,y) due soluzioni cicliche di questa equazione aventi per autofun- 

 zioni ortogonali le funzioni (49) e coinè corrispondenti autovalori rispettivamente i sistemi 

 di valori (58), (59) ove i segni avanti ai radicali di 'ciascun termine sono gli stessi di 

 quelli avanti ai radicali dei termini rispettivamente delle serie (60) e (61) che abbiamo 

 supposto convergenti. 



Sarà, (§ 4) : 



(62) ■ Z { (x,y) + Z t (x,y) = - 27q(x,y) 



(63) È\ Z. 2 (x,y) = - 27 p {3) (x,y) 



Poniamo le equazioni: 



(64) Zifoy) = HP{x,y) 



(65) Z, [x, y) = (x, y) 



