Sopra l'algebra delle funzioni permutabili di 2 a specie 



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le quali ammettono soluzioni perchè si sono supposte convergenti le serie (60) e (61). 

 Siano H i (.v, y) ed H, (x, y) due soluzioni rispettivamente delle equazioni (64) e (65) che 

 ammettono come autovalori rispettivamente uno dei sistemi di costanti : 



<66) Ih = s X - (# = 1,2,....) 



! 1 



ove i segni \ indicano che se nell' espressione di h' \ il radicale cubico si fa prece- 

 dere da uno dei l, e, s 2 , nell' espressione di h" é il radicale cubico dovrà farsi precedere 

 rispettivamente da uno dei segni 1, s 2 , e. 

 Si avrà : 



&i H% ( x >y = - 3*(*,y). 



Infatti poiché H l {x ì y) ed Hi (x, y) sono permutabili, la funzione //, // 2 .<-, y) sarà 

 la funzione simmetrica che ammette per autofunzioni ortogonali il sistema (49) e come 

 corrispondenti autovalori le costanti, (§ 1): 



3. 



h'i . h" = 



Ma anche la funzione — òp(oc,y) ammette come sistema completo di autofunzioni 



ortogonali il sistema (49) e come corrispondenti autovalori le costanti — -~ (/= 1, 2, ), 



e sappiamo che esiste una sola funzione 'godente di queste proprietà, (teorema IV), 

 quindi è 



(68) H, H, (x, y) = - 3p (x, y) . 



Si ponga ora : 



Xi{x,y) + eX t (x,y) + e*X 3 (x,y) = H^x,y) 

 X t (x t y) + ^X.Ax.y) + *X,{x,y) = H 2 (x;y) 

 X^y) + X t (x,y) + X,{x,y) = 



