Sopra V algebra delle funzioni permutabili di 2 a specie 



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1 1 £ 2 g g g 2 



ove i segni £ - 3 ■ i • ' < 2 - > s indicano che se il primo radicale cubico nell'espres- 



S 2 3 £ e i , 



sione di x , si fa precedere da uno dei segni l, e, a 2 , il secondo deve essere preceduto 

 rispettivamente da uno dei segni 1, s 2 , e, il primo radicale cubico nell' espressione di x'[ 

 deve essere preceduto rispettivamente da uno dei segni s 2 , 1, e, e il secondo rispet- 

 tivamente da uno dei segni e, 1, e 2 , il primo radicale cubico nell'espressione di x" deve 

 essere preceduto rispettivamente da uno dei segni e, s 2 , 1 e il secondo rispettivamente 

 da uno dei segni e 2 , e, 1 . 

 Concludiamo quindi: 



Affinchè V equazione integrale di 3" grado (43') ove p (x, y) e q(x, y) sono fun- 

 zioni simmetriche, ad autofunzioni reali, ammetta sistemi di soluzioni cicliche è 

 necessario e sufficiente die le funzioni note siano per mutabili e che siano conver- 

 genti la serie (57), e una coppia di serie (60), (61) ove pi (i = 1, 2, . . . ), q t (i= 1, 2, ...) 

 sono gli autovalori rispettivamente dei nuclei p (x, y) e q (x, y) corrispondenti alle 

 autofunsioni di una serie o)j (x) (i = 1,2,... ) di funzioni ortogonali la quale con- 

 tiene tutte e sole le autofunzioni dei nuclei p (x, y) e q(x, y). 



Soddisfatte queste condizioni si hanno infiniti sistemi di soluzioni cicliche 

 dell' equazione (43') costituiti dalle funzioni simmetriche le quali ammettono come 

 autofunzioni ortogonali le co, (x) (i= 1, 2, .. . ) e come corrispondenti autovalori ri- 

 spettivamente le costanti di uno dei sistemi (69), (70) (71) e che variano al va- 

 riare degli autovalori (69), (70), (71), in corrispondenza ai segui che si conside- 

 rano avanti ciascun radicale cubico. 



Questo risultato si può anche mettere sotto la forma 



Date due funzioni simmetriche p (x, y) e q (x, y), ad autofunzioni reali, condi- 

 zione necessaria e sufficiente affinchè esistano tre funzioni simmetriche, ad auto- 

 funzioni reali, X i (x, y), Xa (x, y), X 3 (x,y), permutabili fra di loro e soddisfacenti 

 alle condizioni : 



X, (X, y) + Xi (x, y) + X 3 (x,y) = 

 X, X, Or, y) + X, X 3 (x, y) + x\ X 3 (x,y) = p {x, y) 



X L Za X 3 {x, y) — — q (x, y) 



è che le funzioni p(x,y) e q(x, y) siano permutabili e che converga la serie (57) 

 e una coppia di serie (60) (61). 



17. Riprendiamo l'equazione (43). Supposto che X i {x,y), X t (x,y), X 3 (x,y) sia un 

 sistema di soluzioni cicliche dell' equazione (43') ove p (x, y) e q (x, y) sono legate alle 

 funzioni a l (x, y), a<t (x, y), a 3 [x, y) dalle relazioni (44), le funzioni 



X t V) — t "t (•«', V), A r 2 {x, y) \ a 2 (•«•', y), X 3 {x, y) \- a, [x, y) 



y 3 > 



sono, per ciò che si è osservato al n. 13, soluzioni dell'equazione (43), permutabili con 

 le funzioni a l {x,y) } a 2 (x,y), a s (x, y). 



