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Maria Precchia 



| Memoria XXV.] 



Inoltre, tenendo conto delle (44) e delle (46), (47), (48) si ha: 



|*i (*,») - j «, y) i + | *2 ~ f a» (-v, 2/) ! + | X 3 (a; V )-j a, [x,y) | - « 4 (a,*/), 

 |*i— y «ì } jjfj j- a, (.r,^) j + |Z 4 - y « | jÀ' 3 (.\\ y) — j a, {x,y) | -f 

 + j* 2 ^ & | jX, (.v, y) l - ài iX,y) \ ~ «2 (-v, t/) 



— ~ «i ' |*2 — y I j*3 V) — — à v (x, y)\ = — a 3 (co, y) 



cioè le funzioni X, (x, y) - v a i ( x > y)> Xa ( x - y) 7 a i ( x > y)> X y ( x > y) — 4" a i ( x i V\ 



> ) ) 



formano un sistema di soluzioni cicliche dell' equazione (43). 



Viceversa se X t (x, y), X t (x,y), X, (x, y) è un sistema di soluzioni cicliche dell'equa- 

 zione (43), si verifica che X i (x,y)-\- — a, \%,y), X 2 (x / y)-\- — a. (x, y), Xs (%,y) -f- — a, (x,y), 



3 > "3 



è un sistema di soluzioni cicliche dell'equazione (43'). 

 Possiamo quindi enunciare il teorema : 



Affinchè r equazione integrale di 3° grado (43), ove a, (x, y), a 2 (x, y), a 3 (x, y) 

 sono funzioni simmetriche, ad autofunzioni reali, permutabili due a due fra loro, 

 ammetta sistemi di soluzioni cicliche è necessario e sufficiente che sia convergente 

 la serie (57), e una coppia di serie (60), (61), ove 



1 1 



Pi = -j— — r - . Qi = 



1 ' 1 ! 



r 



a" 3a"f d'I 9af 3a', a" 



ed a', , (i = 1 , 2, . . . ) a" , (i = 1 , 2, . . . ) , &[ , (i = 1,2,...), sono gli autovalori ri- 

 spettivamente dei nuclei a, (x, y), a 2 (x,y) a 3 (x, y) corrispondenti alle auto/unzioni 

 di una serie co,- (x), (i — 1, 2, ... ) di funzioni ortogonali contenente tutte e sole le 

 autofunzioni dei nuclei a i (x, y) a 2 (x, y) a 3 (x,y). 

 Ed anche : 



Date t re funzioni simmetriche , a t (x,y), a 2 (x,y), a 3 (x,y), ad autofunzioni reali, 

 permutabili due a due fra loro, coudizione necessaria e sufficiente affinchè esistono 

 tre funzioni simmetriche, ad autofunzioni reali, X, (x, y), X 2 (x, y), X 3 (x, y) permu- 

 tabili fra loro e soddisfacenti alle condizioni 



è che sia convergente la serie (57), e una coppia di serie (60), (61). 



*, {x, y) -f x t (*i y) + X 3 */) = — «! (>, y) 



x\ X 2 (x, y) + X t Ì ; 3 (x, y) -f X 2 X z (x, y) = cu {x, y) 



Xi X, X 3 (x, y) = 



— a t (x,y) 



