Sopri/ F algebra delle funzioni permutabili di 2 a specie 



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§ 6. 



Risoluzione dell' equazione integrale «li 4° grado 



X 4 ' (x,v) -f <h jèW + * ZWfo _v) -f « 3 X(. v ,^) + a 4 (,v, v) = 0. 



18. Consideriamo 1' equazione integrale di 4° grado : 



(72) X^ (se, y) + <k X (3) (x,y) + A X< 2 > (», */) + <h X (x,y) + a 4 (#, y) = 



ove « t (x, // ) «2 (.r, y) « 3 (,-V, v) « 4 (x,_y) sono funzioni simmetriche ad autofunzioni reali, 

 permutabili fra loro due a due. 



Ci proponiamo di risolvere 1' equazione precedente mediante nuclei simmetrici, ad au- 

 tofunzioni reali, permutabili con le funzioni note a L (x,y), a,(x,y), a 3 {x,y), a i (x,y). 



Operando sulla (72) la sostituzione X (x,y)= X(x,y) — a L {x,y) ci riduciamo ad 



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un' equazione del tipo : 



(72') 2**) (x,y) + p X* (x,y) + q X(x, y) + r (x,y) = 



ove 



p (.v, y) = « 2 [x, y) — -|- a£V (x, y) 



(73) q (*, v) = # £ < 3 > (.v, ,</) ^- «id' 2 (*, v/) -j- « a C*> .'/) 



(«, t/) = — -ig. (./•, y ) -f _L ^(2)// 2 — -j a 3 (i t (*, //) + « 4 (,r, f/)- 



Poiché le funzioni «j (.v, y), a., [x, y), a,, {x,y), a { (x, y) sono permutabili due a due 

 fra loro, esisterà una serie S di funzioni ortogonali contenente tutte le loro autofunzioni; 

 dalle (73) risulta che la serie S contiene pure le autofunzioni di p (x,y), </ (><',,'/) ed r (oo,y) 

 e quindi p(x,y), q(x,y), r{x,y) sono permutabili due a due fra loro e con le funzioni 

 ai {x,y), a-2 (x,y), a% {x,yj, tn(x.y). 



Inoltre se X (x,y) è soluzione dell'equazione (72'), la funzione A (•*-', y) a i (x,y) 



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è soluzione dell'equazione (72). permutabile con le funzioni a l (x,y), a 2 ix,y), a% (x, y), 

 a À (x, y). Infatti essendo X(x,y) permutabile con le funzioni p (x,y), q (x,y) ed r (x,y) 

 esisterà una serie S, di funzioni ortogonali contenente tutte le autofunzioni di X (x, //), 

 p {x,y) , q{x,y) ed r(x,y); ma dalle (73) risulta che le autofunzioni di a i [x,y) ed 

 d2 (x,y) sono anche autofunzioni di p(x,y), che le autofunzioni a { (x,y) a 2 (x,y), a 3 (x.y) 

 sono pure autofunzioni di q (x, y) e che le autofunzioni di a L (x,y), a 2 (x,y) , a,(x,y), 

 ct i (x,y) sono autofunzioni di r (x, y), segue che la serie S, conterrà pure le autofun- 

 zioni di (t l (x,y), a.,(x,y), a 3 (x,y), a 4 (x, y), ossia che la soluzione X(x.y) dell'equa- 

 zione (72') è permutabile con le funzioni a l (x,y), a.,(x,y), a..(,r,y), a i (x ì y). Segue che 

 a funzione X(x, y) — a l (x,y) sarà permutabile con le funzioni a l {x,y), a.,{x,y), 



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