34 Maria Precchia | Memoria XXV.] 



«3 (a?, y) , a i {x,y), e si può inoltre facilmente verificare che X (x, y) — << t (x, v) è 



soluzione dell'equazione (71*). 



Viceversa, se X(x,y) è soluzione dell'equazione (71!) permutabile con le a l {x,y), 

 (i 2 {x,y), a 3 (x,y), a i {x,y) , dalle (73) risulta che X{x,y) sarà pure permutabile con 

 P ( x ,y) } q{ x ,V) ed r(x, y) , e si verifica ancora che la funzione X(x,y) -j — — n l {x,y) 

 la quale è certamente permutabile con le funzioni p{x,y), q(x,y) ed r {x, y) , è solu- 

 zione dell' equazione (73'). 



19. Ciò posto supponiamo che X l (x,y) sia una soluzione simmetrica ad autofunzioni 

 reali dell'equazione (71''), permutabile con le funzioni note p{x,y) , q(x,y) ed r(x, y) e 

 consideriamo l'equazione di 3° grado 



(74) à ; < :ì W + à\ X m (x,y) + 1 X <»-]-/> ]x (x.v) + | X«> (x,y) +p A", (x,y)]=0. 



Se quest'equazione ammette una terna di soluzioni cicliche A'2 {x,y), A 3 (x, y), A 4 (#, y), 

 queste funzioni , essendo permutabili con le funzioni X { (%,y) , X i (x, y) ~\- p (se, y) e 



Aj (:,) (x, y) -f- p X i (x,y) -\- q (x, y) , sono anche permutabili con le funzioni p{x,y), q(x,y) 

 ed r [X, y). 



Si avrà inoltre : 



X, {x, y) -f À 3 <x,y) -f A 4 (.v, v) = — X, (x,y) 

 X t X 3 (x, y) + X 2 X, (x,y) + X 3 X< (x,y) = X® (x, y) + p (x,y) 



x t x 3 x t = - [ àv :i > {x,y) + />' x, (.v, v) + q (*,y) \ 



e quindi : 



X t (x,y) -f À\(.v,.y) -f A' s (.»•■, v) 4" A' 4 (;v,//) = 

 A, A 2 (*, y) + A, A 3 (.v, y) + A, A 4 [x,y) + A, A 3 (x,y) + * 2 A 4 (,r, y) -f A 3 A 4 [x, y) = 

 = A, [ A. 2 (./'. y) + A 3 (x, y) + A 4 (*, v)] + X, A, (x, v) -f A 2 A 4 (.v, y) -f A 3 A 4 (.r, y) = 



- A?» («, y) -f Ìj(*,y) -f />(*,y) = p(x,y) 

 X\ A 2 1 3 (x, y) + A, A 3 A 4 (.v, y) + A 4 A 2 A 4 (x, jj) + A 2 A 3 A 4 3') = 

 A, £ « (.v, 3;) + p [x, y) I - X« (.v, y) -- p A, (.v, v) — g (.r, 3') = — q (*, v) 



A 4 X 2 A 3 A 4 (.v.y) = 



- A, | A , ' (-v, v) + P X, (x, y) + ? (x, v)] = r {x,y) 



