Sopra l'algebra delle funzioni permutabili di 2" specie 



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Si ha poi che le soluzioni X i (x,y), X 3 (x,y) X 4 (x,y) dell'equazione (74) sono anche 

 soluzioni della (72')- Infatti si ha per la funzione Xz (.r, v) : 



= | A -X | | X? (x, y)+X^ % (x, y) \- j X*+p j Z 2 (.v, y)+X® (x, y)+p A, (x, v) + 



q [x, y) = A (4 > (x, y) -f p X™ {.v, y) + (7 ^ te v) + r (*, ;/) — [iy 4) (x, tj) -f 



/> Z„ (2) (.v, v) -f A 2 (x,y) -f (a», .//)] 

 e poiché A'j i.r, jy) è soluzione della (71!'), deve essere 



ly 4 > (x, y) + />' À ; /> (or, y) -f ?Ì te tj) + /- (*, y) = 



cioè A 2 (%, y) è pure soluzione dell'equazione (71!'). Analogamente si verifica che le fun- 

 zioni X ? (.\\y) e X 4 (x,y) sono soluzioni dell'equazione (72'). 



20. Chiameremo sistema ciclico di soluzioni dell'equazione (72'), un sistema di 4 so- 

 luzioni simmetriche, ad autofunzioni reali, X { (x, y) , A 2 (.v,y), X 3 [x,y) e X 4 (x, v) per- 

 mutabili fra loro due a due e con le funzioni note e soddisfacenti alle relazioni 



Zi te V) -f Xt fo») + X % (x, y) 4 X t (x, y) = 



(75) y) + X t X 9 (x,y) +X l X 4 (%,y) +x\£ 9 {x t y) +X t X i x(,y) + X 3 X 4 (x,v)= p {x,y) 



X i X ° x .< te.v) + A 1 A 2 A, (.v, y) + X 1 X 3 X i (x, y) -f- ^A 3 A 4 (*, y) = - q (x, y) 



X l X t X 9 X i {x, y) = r(x,y) 



Da ciò che si è detto al n. 19 segue che se V equazione (72') ammette una solu- 

 zione X 1 (x,y) ad auto funzioni reali, permutabili con p(x,y), q(x, y) ed r (x, y) , e 

 se costruendo l'equazione di 3" grado (74) , questa a in mette soluzioni cicliche, la 

 Xj(x,y) considerata insieme ad una terna qualunque di soluzioni cicliche della (74) 

 ci dà un sistema di soluzioni cicliche dell'equazione (72'). 



Ci proponiamo di ricercare le condizioni necessarie e sufficienti affinchè 1' equazione 

 (72') ammetta un sistema di soluzioni cicliche. 



Indichiamo con : 



(76) «P,(-v), <M-v), 



un sistema di funzioni ortogonali contenente tutte e sole le autofunzioni dei nuclei />(■<•',.'/), 

 q (.'•, y) ed /' (x,y) , e con 



Pi , (/= 1,2 ,...); q, i, (*'"= 1, 2 ,...) ; /-,,(/= 1, 2 ,...) 



