Sopra /' algebra delle funzioni permutabili di 2 a specie 



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Le soluzioni cicliche li®) (j-, v) , [x,y) , P// i] U, y) dell'equazione (77) avranno 



come autovalori, corrispondenti alle autofunzioni ortogonali (76), rispettivamente uno dei 

 sistemi di costanti 



1 



(/=1, 



'àpi 



-2 

 1 



— + l/— + — 4- 1 V - — + l/— 



1 _L 1 



27 Xj 



3/>, 



fi=l. 



]/- -i- + + X - s i/ — X I 1 



27X; 



3A 



ove X, e j)., sono date dalle (81) e per i segni avanti ai radicali valgono le osservazioni 

 al n. 16, § 5. 



Segue che le funzioni H i (oo,y), H t (x,y), H,Lv,y). ammettono come sistemi com- 

 pleti di autovalori rispettivamente uno dei sistemi di costanti : 



(85) 



lì', = ± \l v' ( 



1, 2, 



(86) 



K= ± 1/ v'; , (i=l,2... 



(87) 



+ 



1,2,...) 



e quindi dovranno essere convergenti le serie : 



(88) 



(89) y t 



Si ha quindi: Condizione necessaria affinchè l'equazione (72'), ove p (x, y) q(x, y) 

 ed r (x, y) sono funzioni simmetriche, ad autofunsioni reali, permutabili fra loro 

 due a due, ammetta soluzioni cicliche è che siano convergenti le serie (78), una 

 coppia di serie (79), (80) e le serie (88), (89), (90). 



21. Facciamo vedere che questa condizione è sufficiente affinchè l'equazione (72') 

 ammetta soluzioni cicliche. 



Infatti per la convergenza della serie (78) e di una coppia di serie (79), (80), l'equa- 

 zione di 3° grado (77) ammetterà soluzioni cicliche. Sia ^^.v. v), $ s (x,y), $ 3 {x,y) una 

 terna di tali soluzioni aventi per autofunzionl ortogonali le funzioni (76) e per corrispon- 

 denti autovalori rispettivamente tre sistemi di costanti (82), (83), (84). 



