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Maria P ree chi a 



[Memoria XXV.] 



Si ha: 



(91) (x, y) + <I>, (.v, y) -f $ 3 (x, ^) = - 8 p (x,y) 



(92) 4>\ 2 i.v, v) + Ó), <I> 3 (.v, 7 ) -f 6* e (Ì) 2 (.v, //) = 16 pW(x, y) - 6+ r (x, y) 



(93) $ 8 $ 3 (.v, 3') = 64 q {2) (x, y) . 

 Poniamo le equazioni integrali binomie : 



( .v, v) = «D, (x, y) ; (*, y) = % (x, y) ; H.^ (x, y) = 3> 3 (x, y) 



le quali ammetteranno soluzioni perchè sono convergenti le serie (88), (89), (90). Siano 

 H L (x,y), Hi (x, //) . H s (x,y) tre soluzioni rispettivamente delle precedenti equazioni, 

 aventi come autovalori rispettivamente uno dei sistemi di costanti (85) , (86), (87), ove, 

 per ogni valore dell' indice /', i segni dei tre radicali siano tali che il loro prodotto risulti 

 negativo. E facile vedere allora che si ha : 



(94) H t H t H 5 (x,y) = -8q (x, y) 



Infatti per la (93) si ha ÉL^ ÌZ./ 2) ÌÌ 3 V)(x,y) — 64q(x,y) e da ciò segue che 



H l U 2 H s (x,y) e q {x, y) hanno le stesse autofunzioni; inoltre per la permutabilità delle 



funzioni R l (x,y), H„(x,y), H 3 (x,y), H L H% H 3 (x,y) sarà la funzione simmetrica, la 

 quale ammette come autovalori, corrispondenti al sistema (76) di autofunzioni ortogonali , 



le costanti 



h'i li", ìi'i ■ — j/ v'i . v" . v"' 



ossia, per la (93) : 



*.*;.*r — y^gr — -a. ,/=,,,,...» 



Anche la funzione — 8 q {x, y) ammette come autovalori corrispondenti alle autofun- 

 zioni ortogonali (76) le costanti ™- {/' = 1,2,...), e poiché esiste una sola funzione 



godente di queste proprietà, deve essere H l H ì H 3 (x,y) = — 8 q [X, y). 

 Poniamo ora : 



H t [x, y) '= 



x< 



(x, y) 



+ X s {x, y) - 



*3 



{■>; y) 



- x 4 



(», y) 



H 2 {x, y) = 



x { 



(x, y) 



+ X 3 (x, y) - 



x t 



{x, y) 



- 



(*, y) 



H, (x, y) = 





{*, y) 



+ X i (x, y) - 



X. 



(x, y) 



- x 3 



ix, y) 



= 



x, 





+ X t (x,y) + 



x 3 



[x, y) 



-h x À , 



[x, y) 



