Sopra V algebra delle fini zioni permutabili di 2" specie 



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da cui si ha : 



-V, (x,y) =r- l - ) Hi{x,y) -f H,{x,y) \ H n (x,y) \ 



X s (x,y) = — H t (x,y) — [H t {x,y) - - B 3 {x,y 



X, (x, v) = ~ \ - H. (x, v) + H 2 {x, y) - ff s (x, v) j 



X t (x, y) = ~ \ — lf [x, v) - E 2 (x, y) + H, (x,y) j . 



Si ha, poiché H<® {x,y)=<l\(x,y) , À' 2 ( 2) {x,y)=9 t {x.y), H 3 ^(x,y), HÌ{x,y)=$ 3 (3c,y) 

 e tenendo conto delle (91), (92), (94): 



X t {x,yy+ X 2 {x,y) + X 9 (x,y) + A 4 (.v,v) = 



(75) X& (a:, aO+A'À (x^+XX (x^+XzXJx^+XsXt {x,y)+X 3 X\ [x,y)=p (x,y) 



X\X S X 3 (x,y) + XiX.X^y) + X 2 ÀVY 4 + X,Z,X 4 = - $ (», y) 



Xjr 2 X 3 X 4 (*, v) = r(xo'). 



Queste relazioni ci dicono che Xi{x,y), X%{x,y), X 3 (x,y), X A (x,y) formano un 

 sistema di soluzioni cicliche dell'equazione (72'). Esse ammettono come autofunzioni or- 

 togonali le funzioni (76) e come cosrispondenti autovalori rispettivamente uno dei sistemi 

 di costanti : 



(95) x) == — , (/= 1, 2, . . .) 



_J i L_ j L_ 



h'i 1 li] ~ h"i 



(96) x" f = — — , (/=1,2,...) 



(97) x'i = ^ , (/= 1,2,.. .) 



1 — 



hi ~ h'( h" 



(98) xT = * , (/= 1,2, . . .) 



h't hi n h'[' 



ove h' t , li", hf sono dati dalle (85), (86), (87) ed i loro segni devono essere scelti in 

 modo che per ogni valore dell' indice i il prodotto li, . Ii[ . h"ì risulti negativo. 



Concludiamo quindi : condizione necessaria e sufficiente affinchè 1 equazione in- 

 tegrale di 4 n grado (72') ove p (x, y), q (x, y) ed r(x, y) sono funzioni simmetriche^ 

 ad anlofunzioni reali, permutabili fra loro due a due, ammetta soluzioni cicliche 



