40 



Maria Prece hia 



lAllCMOUIA XXV. J 



è die siano convergenti la serie (78) , una coppia di serie (/9) , (80) e le serie 

 (88), (89), (90) ove le 'k, e |i, sono dati dalle (81) e p ; (i = 1, 2, ...) ; q, (i = 1,2,...); 

 Y t (i= 1,2, ...) sono gli autovalori rispettivamente dei nuclei p(x,y), q(x,y) ed r(x,y) 

 corrispondenti alle autofunsioni qpf(x), (i = 1,2,...) di un sistema di funsiorti or- 

 togonali contenente tutte e sole le autofunzioni dei tre nuclei, ed alcune delle p, , 

 q, , i\ possono essere infinite. 



Soddisfatta questa condizione si hanno infinite soluzioni cicliche dell' equa- 

 zione (72' ) che sono le funzioni aventi come autofunzioni ortogonali le funzioni 

 della successione cp, (x), (i -- 1, 2, ...), e come corrispondenti autovalori uno dei si- 

 stemi di costanti (95), (96), (97), (98) ove i valori delle \\, h" , h'," die sono dati 

 dalle (85), (86), (87), devono essere scelti in modo che per ciascun valore di i, il 

 prodotto h'i . ti'i . h," risulti negativo. 



Si ha anche il teorema : date tre funzioni simmetriche , ad autofunzioni reali 

 p (x, y), q(x, y), r (x, y) permutabili fra loro due a due, condizione necessaria e suf- 

 ficiente affinchè esistano quattro funzioni simmetriche , ad autofunzioni reali , 

 Xi(x, y), X s (x, y), X 3 (x,y), X 4 (x,y), permutabili fra loro due a due e con le fun- 

 zioni note, le quali soddisfino alle relazioni (75) è che siano convergenti la serie 

 (78), una coppia di serie (79), (SO) e le serie (88), (89), (90). 



22. Consideriamo ora l'equazione (72). Se X l (x,y), X z (x,y) X 3 (x,y) X 4 (x,y) è 

 un sistema di soluzioni cicliche dell'equazione (72') ove p(%,y), q(x,y), r(x,y) sono le- 

 gate alle funzioni a^{x,y), t/ 2 (x,y), a 3 (x,y), a i (x,y) dalle relazioni (73), le funzioni 

 Z, (./•, v) — 4- « t [x,y\ X, (x,y) — ~ a { (x, y), X 3 (x, y) — ~ a, (x,y), X i (x,y)- \ a, (x, y) , 



4 4 4 4 



per ciò che si è osservato al n. 18, sono soluzioni dell'equazione (72), e sono permutabili 

 con le funzioni a l [x,y), a 2 (x,y), a 3 {x,y), a i fr,y). Inoltre si ha, tenendo conto delle (73) 

 e delle (75) : 



j Xfa y) - j afa y)\-\-\ X, (x, y) - j a , (x, y) j+| X 3 (x, y) — j afa, y) [ 



+ j X i fr> y) — 7 <h fri y) | = — «, y) 



\X L - ± j \X 2 (x,y)- j afa y) j + |l t - jà\ \ \X S fr, y) - j- à\ (x, y) \ 

 + jl, -jà L \ \X 4 (x, y)-~U, (x, y)\ + \X t -j- a t j \X 3 (x, yì-j-a, fr,y) \ 

 + \X t — - «, j \ì 4 {x, y) — j à t (x, y) \ -f \X 3 — j ài I [X t (x, y) — j ài (x, y) \=a 2 (x,y 

 X, - 7 di j \X t -± a \\ jl 3 (x,y) - j ài (x,y) \ + jl t - j a, J jl s - j a t j \Xfay)- 1 àfay)\ +- 



\Xi - -j a, j \X 3 - ~ di j |X 4 (x, t,)-j. (di (x, y) i 



+ - 7 <h \ \x 3 — j * ! \K 0», v) - j (*,y) | ' = — « 3 ( x ,y) 



\Xi — j di | \X 9 —~ d\ j jl 3 — -i- à\ J \X t (x,y) — j Hi [x, y) j = a t (x, y) 



