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ossia le funzioni X, (x, y) j- a t (x,y) , X 2 (x, y) 7 a t (x,y), X 3 (x, y) — — ai (x, y) , 



-I 4 4 



X, (x. y) — — ",(x, y) . formano un sistema di soluzioni cicliche deli equazione (72). 



Viceversa si verifica che se Xi{x, y), X»(.v,v), X. ,(.v, //) , X 4 (x,y) è un sistema di 

 soluzioni cicliche dell'equazione (71!), le funzioni 



x t (#, v) 4- -7 " i y)* X ì( x >y) 4- ~ a i (*'»-y)> 4- t «i(*'>3')> 4- ~ C*> y) 



4 4 4 4 



formano un sistema di soluzioni 'cinliche dell' equazione (71''). 



Segue che per l'equazione (72) possiamo enunciare il teorema affinchè /' equazione 

 integrale di -7° giudo (72) ove a 4 (x, y), a s (x, y), a. ( (x, y), a 4 (x,y) sono funzioni sim- 

 metriche, ad auto finis ioni reali, permutabili due a due fra loro, animella sistemi 

 di soluzioni cicliche è necessario e sufficiente che siano convergenti la serie (78), 

 una coppia di serie (79), (SO) e le serie (88), (89), (90) ove le X, e \ii sono date 

 dalle (81). 



L 1 



pl = ITX ; 9i = i i ~~r ; 



a" Sa'f 8a'i 2a'i a" a'" 

 l 



* ~ 4- — U - -4^ 



256 a* 16 a [a, \u/ ai a,' 



ed a' : . , (i = 1, 2, . . .) ; a'/, (i = 1 , 2 . . . ) ; a"', (i = 1, 2, . . .) ; a"", (i — 1 , 2, . . .) , sono gli 

 autovalori rispettivamente dei nuclei a t (x. y). a>(x, y), a 3 (x, y), a 4 (x, y) corrispon- 

 denti alle auto/unzioni q)< (x) , (i — 1, 2, ...) di un sistema di funzioni ortogonali 

 contenente tutte le loro auto/unzioni, (alcune delle a,', a", a", a"" potendo essere 

 infinite). 



Ed ancora : 



Date quattro funzioni simmetriche , ad autofunsioni reali, a : (x, y), a 2 (x, y), 

 a 3 (x, y). a 4 (x,y) permutabili fra loro due a due, condizione necessaria e sufficiente 

 affinchè esistano quattro I unzioni simmetriche, X, (x, y) , X,(x, y), X 3 (x,y), X 4 (x,y), 

 permutabili fra loro due a due e con le funzioni note , le quali soddisfino alle 

 relazioni 



X t [x, y) 4- X, [x, a) 4- X 3 (x, y) 4- X t (x, i/) = — a L [x,y) 



X.XA^y) + XiX 3 (x,y) 4- X\X 4 (x,y) -\- X 2 X 3 (x,y) 4- X 2 X\(x;y) + X 3 X 4 (x,y) = a, (x,y) 



W, {x, y) -V XXz 'X, (x, y) 4- X\X 3 X t {x, y) -f- X 8 X 3 X 4 y) = - a 3 (x, y) 



X l X ì X 3 X 4 {x,y) — : a 4 (x,y) 



è che siano convergenti la serie (78) , una coppia di serie (79) , (80) e le serie 

 (88) , (89) , (90). 



