1881.] A. Mannheim. Sur la Surface de VOnde, Sfc. 447 



XXIII. " Sur la Surface de l'Onde, et Theoremes relatifs aux 

 Lignes de Courbure des Surfaces du Second Ordre." Par 

 A. Mannheim. Communicated by The President. Re- 

 ceived June 16, 1881. 



Apres avoir presente quelques remarques sur la surface de l'onde, 

 je montrerai dans cette courte note, comment l'emploi d'une simple 

 . proposition de geometrie cinematique permet de trouver des resultats 

 nouveaux et interessants a propos d'un sujet deja bien etudie. 



§L 



A un ellipsoide donne de centre o, on circonscrit des cones dont une 

 section principale est un angle droit : les sommets de ces cones sont sur 

 tine surf ace de Vonde [c]. 



Cette generation de la surface de l'onde, que j'ai communiquee a 

 l'Academie des Sciences (26 Avril, 1880), va me servir de point de 

 depart. 



Appelons c le sommet d'un de ces cones, ca, cb, les deux generatrices 

 perpendicul aires l'une a 1'autre dont le plan est une section principale 

 de ce cone ; a et b les points de contact de ces generatrices et de 

 l'ellipsoide donne. * 



Considerons les trois surfaces du second degre liomofocales a l'ellip- 

 soide donne qui passent par le sommet c. 



On sait que ces surfaces sont respectivement tangentes en c aux 

 plans principaux du cone ou, ce qui revient au meme, les normales a 

 ces surfaces en ce point sont les axes principaux de ce cone. 



Parmi ces surfaces il y a un ellipsoide. Nous le designerons par (E) ; 

 il coupe la surface de l'onde, suivant une courbe E. La normale en c 

 a cet ellipsoide est la bissectrice c ft de Tangle droit a cb. 



La normale en c a la surface de l'onde est, comme je l'ai demontre, 

 la droite c ju,, qui joint le point c au milieu /<. de la corde de contact 

 a b. 



Le plan acb est alors le plan normal en c a la courbe E ; par suite 

 la droite Gr elevee du point c perpendiculairement au plan acb est la 

 tangente en c & cette courbe ; et Ton sait que la droite Gr, l'un des axes 

 principaux du cone circonscrit, est aussi l'un des axes de l'indicatrice 

 de l'ellipsoide (E) au point c. 



Ceci est vrai pour un point quelconque de E ; nous voyons alors 

 que : 



La surface de Vonde [c] est coupee par un ellipsoide (E) homofocal a 

 V ellipsoide qui entre dans la definition precedente, suivant line ligne de 

 courbure de cet ellipsoide (E). 



Comme cette ligne de courbure est l'lntersection de 1'cllipsoide (E) 



