1881.] A. Mannheim. Sur la Surface de VOnde, Sfc. 



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a pour plan tangent le long de oc nn plan perpendicnlaire an plan 

 (Gr, Cfx). Mais ce plan (Gr, c/i) est tangent an cone dn second ordre 

 dont la directrice est B. 

 Done : 



Les cones du second ordre de sommet o, et qui ont pour directrices des 

 courbes telles que (c) et E, se coupent d angle droit. 



On pent dire qne la droite Gr est la projection de oc snr le plan 

 tangent en c a la surface de l'onde, et qn'alors, an moyen de la pro- 

 jection de oc, on obtient la tangente en c a la ligne de conrbnre E. 

 Appliqnons cette remarqne : 



Le cone de sommet o, dont la directrice est (c), a pour plan tangent 

 le long de oc, un plan perpendiculaire au plan (o, c/i) normal en c a 

 la surface de l'onde. Ce plan tangent, en vertu d'un theoreme connu, 

 est alors le plan normal a la surface de l'onde au point 7, ou le rayon 

 oc rencontre cette surface. II coupe le plan tangent en 7 a la 

 surface de l'onde, d'apres la remarque precedente, suivant la tangente 

 en ce point a une ligne de courbure de l'ellipsoide homofocal a 

 l'ellipsoide donne, et qui contient 7. On voit ainsi que : 



Le cone de sommet o, et dont la directrice est (c), rencontre de nouveau 

 la surface de Vonde, suivant une courbe telle que E. 



On demontre facilement la proposition inverse. 



En rapprochant les resultats precedents de ceux trouves par MM. 

 W. Roberts et Massieu, au moyen de l'equation de la surface de l'onde 

 en co-ordonnees elliptiques, on voit que l'ellipsoide, qui entre dans ma 

 definition de la surface de l'onde, fait partie des surfaces homofocales 

 qui interviennent dans cette equation. 



§ a- 



Jusqu'a present j'ai considere une surface de l'onde et des ellipsoides 

 homofocaux. Nous allons maintenant prendre un ellipsoide fixe et 

 une serie de surfaces \c'~\ analogues a la surface de l'onde. Nous 

 verrons que ces surfaces coupent aussi cet ellipsoide suivant des lignes 

 de courbure; nous obtiendrons alors une nouvelle generation des 

 lignes de courbure des surfaces du second ordre. Les surfaces [c'] 

 sont le lieu des sommets de cones circonscrits a un ellipsoide donne, et dont 

 une section principale est egale a un angle donne arbitrairement. 



Appelons c a' , c[ V les deux generatrices, qui forment une section 

 principale du cone circonscrit de sommet c' , comprenant entr'elles 

 Tangle donne : les points a' et b' etant les points de contact de ces 

 generatrices et de l'ellipsoide donne. On peut dire que la surface [c r ] 

 est le lieu du sommet d'un angle de grandeur constante a' c' V, circon- 

 scrit d V ellipsoide donne, et dont le plan est normal a cet ellipsoide en 

 chacun des points de contact a' et b'. 



En partant de cette definition et en faisant usage d'une simple 



