RICERCHE DI GEOMETRIA 



SULLE 



SUPERFICIE ALGEBRICHE 



MEMORIA 



DI 



FEDERIGO ENRIQUES 



Approvata nell'Adunanza del 25 Giugno 1893. 



IXTKODUZIONE 



1. La geometria che studia le proprietà degli enti algebrici (curve, superficie, 

 varietà) invariabili per trasformazioni birazionali dell'ente dicesi geometria sull'ente (1). 



Il concetto di questa geometria scaturisce per la prima volta dalla teoria delle 

 funzioni algebriche di una variabile nella capitale memoria di Riemann sulla Theorie 

 der Abelschen Functionen (2). Da un altro lato la geometria sul piano (e sulle super- 

 fìcie razionali) nasce dai classici lavori sulle corrispondenze algebriche di Cremona 

 e Clebsch (trasformazioni del piano, rappresentazione delle superfìcie omaloidi). 



Nello sviluppo della geometria sull'ente sono da distinguersi due momenti ca- 

 ratterizzati da due diversi indirizzi (3). 



a) In primo luogo si presenta la ricerca delle condizioni perchè due enti pos- 

 sano riferirsi in corrispondenza birazionale: questa ricerca è il naturale resultato 

 della provata fecondità di quelle trasformazioni. Essa si presenta sotto due aspetti. 

 Da un lato la determinazione di caratteri numerici invariantivi (legati alle singola- 

 rità dell'ente) come nei lavori del signor Zeuthen (4). Dall'altro lato lo studio delle 

 funzioni collegate all'ente algebrico (in modo invariantivo). Sotto questo secondo 

 aspetto (che può anche considerarsi come collocato fra il primo momento della geome- 

 tria sull'ente ed il secondo nel quale si ricercano le proprietà dell'ente stesso) la 

 questione della possibilità di trasformare birazionalmente un nell'altro due enti al- 

 ti) Le notizie storiche che seguono sono in parte tolte dalle lezioni litografate del sig. Klein 

 sulle " Riemannsche Flàchen „ (1892) e dalle " Vorlesungen „ di Clebsch- Lindemann (Bel. I), che si 

 possono consultare per maggiori dettagli. 



(2) CfiELLE, t. 64. 



(3) Naturalmente la differenza tra i due indirizzi non è netta, ed alcune ricerche partecipano 

 dell'uno e dell'altro, ma questa osservazione è soltanto un corollario della gran legge di continuità 

 che governa le produzioni scientifiche (come ogni altra produzione organica). 



(4) " Mathematische Annalen „, t. Ili e IV. Appartengono a questa categoria varie dimostrazioni 

 della conservazione del genere per le curve tra le quali una del sig. Bertini. Cfr. Clebsch-Lindemann. 

 Bd. I (3 a parte). 



