RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



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mento di quella geometria avvenuto specialmente in Italia per opera del signor Ve- 

 ronese stesso e del signor Segre (1). 



Fu allora che si pensò di rendere indipendente la geometria sopra una curva 

 dalla rappresentazione di essa nel piano e di sostituire così in quello studio i con- 

 cetti di curve aggiunte, ecc. coi procedimenti più semplici e generali propri delle 

 considerazioni iperspaziali. Il signor Segre ed il signor Castelnuovo (2) riuscirono ad 

 elevare con questo concetto una nuova teoria della geometria sopra una curva che 

 alla semplicità ed armonia delle basi congiunge una potenza per la quale si fecero 

 in questo campo nuovi ed importanti acquisti. 



La geometria sopra una superficie non ha progredito in proporzione alla geome- 

 tria sopra una curva, anzi si può dire che essa non è ancora entrata nel 2° momento 

 del suo sviluppo, poiché la teoria generale dei sistemi lineari di curve sopra una 

 superficie di arbitrario genere (fatta nel senso della geometria sopra una superficie) 

 non è ancora avviata. II lavoro fondamentale nell'argomento resta ancora quello 

 (citato) del signor Noether del 1874-75 (Mathem. Ann., Vili) nel quale le funzioni 

 invariantive appartenenti ad una superficie vengono studiate in modo profondo. Suc- 

 cessivamente si ha un lavoro del signor Picard (3) dove in particolare sono studiate 

 le superficie con trasformazioni in sè stesse, e due note del signor Castelnuovo (4) 

 contenenti notevoli esempi di particolari classi di superficie. Invece la geometria sul 

 piano è entrata nel secondo periodo del suo sviluppo col noto lavoro del sig. Castel- 

 nuovo (5) il quale contiene concetti originali ed importanti a cui sembra possa darsi 

 maggiore estensione coll'applicarli allo studio delle superfìcie di genere > (6). 



2. Delineato rapidamente lo svolgimento che ebbe fino ad oggi la geometria 

 sull'ente ed in particolare sopra una superficie, debbo esporre quali contributi porti 

 questo lavoro alla nominata teoria e quali concetti mi abbiano guidato nella ricerca. 



Lo scopo principale del lavoro è lo studio dei sistemi lineari oo r di curve (alge- 

 briche) appartenenti ad una superficie (algebrica). Li definisco come sistemi tali che 

 per r punti della superficie passi una curva di essa, e di cui gli elementi (curve) 

 possono riferirsi proiettivamente ai punti di uno spazio lineare S r (7). 



(1) Per maggiori dettagli cfr. la Monografia storica del sig. Lohia, Il juissato e il presente delle 

 principali teorie geometriche (" Accad. di Torino, Memorie „, serie 2 a , t. 38Ì. Cfr. pure Segee, Su alcuni 

 indirizzi, ecc. (" Rivista di Mat. „, 1891). 



(2) Cfr. specialmente: Segre, Sulle curve normali di genere p dei varìi spazii (" Istituto lomb. „, 

 1888 e Courbes et surfaces réglées (" Mathem. Ann. „, t. XXXIV e XXXV); Castelnuovo, Ricerche di 

 geometria sulle curve algebriche (" Accad. di Torino, Atti „, 1889). 



(3) Sur la théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes (" Journal de 

 Lionville „, 1889). 



(4) " Istituto lombardo „ (1891). 



(5) Ricerche generali sopra i sistemi lineari di curve piane (" Accad. di Torino, Memorie „, 1891). 

 Tra i lavori precedenti si possono considerare come facenti parte di questo 2° momento della geo- 

 metria sul piano, la nota del sig. Segre (" Circolo di Palermo „, t. I) e quella del sig. Castelnuovo 

 (" Ann. di Mat. „, 1890). 



(6) Per la geometria sulle superficie rigate cfr. il citato lavoro del sig. Segre (" Mathematische 

 Annalen „, XXXV). 



(7) La 2 a proprietà è una conseguenza della l a pr. r > 1, se le curve del sistema non si spez- 

 zano. Cfr. la mia nota: Una questione sulla linearità dei sistemi di curve appartenenti ad una super- 

 ficie algebrica (" Accad. dei Lincei „, giugno 1893) e la successiva del sig. Castelnuovo (" Accad. di 

 Torino „, giugno 1893) in cui quel teorema è dedotto da un altro più generale relativo alle invo- 

 luzioni sopra una curva. 



