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FEDERIGO ENRIQUES 



Dopo avere premesso alcuni lemmi (noti) sui sistemi di curve riduttibili passo 

 ad esporre il concetto di sistema normale e di sistema completo, cioè di sistema non 

 contenuto rispettivamente in un altro dello stesso grado o dello stesso genere, e 

 stabilisco che un sistema di dato grado D (cioè di cui due curve s'incontrano in D 

 punti variabili) appartiene ad un determinato sistema normale dello stesso grado; 

 e risulta poi che sopra una superfìcie di genere > una curva appartiene ad un 

 determinato sistema completo dello stesso genere. Ne deduco la l a parte del teorema 

 del resto (Bestsatz) (1), (cap. I). 



Nel cap. II considero le curve le quali godono la proprietà di segare un gruppo 

 residuo (nel senso di Brill e Noether) della serie caratteristica (2) sulla curva gene- 

 rica d'un sistema lineare oo r (dotato di curve fondamentali distinte) ed un gruppo 

 contenuto nel residuo della serie caratteristica sopra la curva generica di un si- 

 stema oo r-1 contenuto nel primo: siffatte curve, sommate con curve fondamentali 

 del dato sistema, godono le medesime proprietà rispetto ad ogni altro sistema della 

 superficie (anche non dotato di curve fondamentali distinte) e sono segate sopra una 

 superficie d'ordine n in S 3 da superficie aggiunte d'ordine n — 4 : perciò le dette curve 

 formano un sistema lineare (se esistono) e le componenti variabili del sistema (che 

 denomino curve canoniche) hanno un carattere invariantivo rispetto alla superfìcie il 

 quale risulta fissato molto semplicemente dalla loro definizione (3). Nasce quindi una 

 distinzione dei sistemi appartenenti ad una superficie in sistemi puri ed impuri se- 

 condochè le curve canoniche segano sulla loro curva generica un gruppo residuo della 

 serie caratteristica o un gruppo contenuto in un tal gruppo residuo: sopra una su- 

 perficie convenientemente trasformata (facendo segare dai piani le curve d'un sistema 

 puro), i primi sistemi non hanno punti base, i secondi sì; la questione si riattacca 

 alle curve eccezionali (ausgezeichnete) di Noether. Un sistema puro normale è neces- 

 sariamente completo. 



Nel cap. Ili introduco il concetto di sistema aggiunto ad un sistema lineare (C) 

 di dimensione r > 2 ; se (C) ha curve fondamentali distinte, le curve del detto si- 

 stema aggiunto sono definite dal segare un gruppo canonico sulla curva generica 

 di (C) e dal segare sopra la curva generica d'un sistema co'' -1 contenuto in (C), un 

 gruppo contenuto in uno appartenente alla serie somma della serie canonica e di 

 quella differenza fra la serie segata sulla curva da (C) e la serie caratteristica del 

 sistema co r_1 (o il gruppo dei punti base semplici se r = 2). 



La definizione data del sistema aggiunto esclude che (C) contenga in sè un 

 sistema co r ~~ 1 di curve razionali (il che è impossibile se la superficie non è razio- 

 nale) ; sotto tale restrizione il sistema aggiunto a (C) coincide coll'aggiunto puro 

 definito dal signor Castelnuovo pei sistemi di curve piane, quando la superfìcie è 



(1) Noethee, " Mathem. Ann. ,„ Vili. Come ognun vede quest'ordine di idee è una conveniente 

 estensione alle superficie dei concetti che, coinè ho detto, il sig. Segre ed il sig. Castelnuovo intro- 

 dussero a fondamento d'una teoria della geometria sopra una curva. 



(2) Con questo nome (introdotto dal sig. Castelnuovo pei sistemi di curve piane) indico la serie 

 che tutte le curve di un sistema segano sopra la curva generica di esso. 



(3) L' invariantività è dimostrata analiticamente dal sig. Noether (" Mathem. Ann. „, Vili). Il 

 numero delle curve canoniche linearmente indipendenti è il genere (geometrico) p della superficie. 



