RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



175 



razionale. Quando co 3 curve C sono sezioni piane d'ordine n d'una superfìcie F di S 3 il 

 sistema aggiunto a (C) viene segato sulla F dalle superficie aggiunte d'ordine n — 3. 



Per le superficie di genere p > (a cui ci riferiamo) il sistema aggiunto è il 

 sistema normale somma del sistema canonico di (C) e dei suoi punti base (se (C) è 

 impuro) e questa proprietà serve a definirlo nel caso in cui (C) non abbia curve 

 fondamentali distinte. 



Stabilire la dimensione del sistema aggiunto ad un sistema (C) di genere tt, è 

 questione della massima importanza per le molteplici applicazioni cui conduce la 

 considerazione del sistema -aggiunto. Indicando con ò (C) il difetto di completezza 

 (> 0) della serie (canonica) che il sistema aggiunto sega sulla curva generica C di 

 (C), la dimensione del detto sistema aggiunto è 2 } ~\~ n — 1 — (C). 



Se (C) è un sistema puro semplice (cioè in cui il passaggio d'una curva per un 

 punto non trae di conseguenza il passaggio per altri punti) si dimostra che la quan- 

 tità b (Cj) relativa ad un arbitrario sistema puro (Cj) è < ò (r C) (essendo [r C) il 

 sistema rplo di (C)) per r assai grande. Se dunque il b (/• C) invece di crescere in- 

 definitamente con r ha un massimo K (come avviene certo se la superficie ha sin- 

 golarità ordinarie), K è un vero carattere invariantivo della superficie. Importante è 

 il caso in cui K = ; indipendentemente da qualsiasi restrizione relativa alle singo- 

 larità della superficie, si prova che è K = se ò (2 C) = 0, e viceversa ; quindi se 

 (C) è un sistema puro semplice per cui ò (2 C) = per ogni altro sistema (anche 

 impuro) di genere tt, la dimensione del sistema aggiunto è p -)- ir — ■ 1 : se in parti- 

 colare la superficie è così trasformata da avere soltanto singolarità ordinarie , il 

 genere geometrico p di essa è uguale al suo genere numerico p t definito da Zeuthen 

 e, Noether, e viceversa è K = se p = pi. La restrizione K = è ammessa nel se- 

 guito per le superficie che si considerano (fino all'ultimo cap. esci.); e nel § 7 del 

 cap. Ili ho creduto opportuno (vista l'importanza della cosa) di richiamare altre 

 circostanze che permettono di concludere la sussistenza di tale fatto. 



Servendomi del sistema aggiunto dimostro quindi che ogni sistema impuro (con 

 punti base distinti) può dedursi coll'aggiunta dei suoi punti base da un sistema puro 

 o (forse) da un sistema con soli punti base semplici: dimostro poi la 2 a parte del 

 Restsatz (§ 3), e nei §§ 5 e 6, do esempi relativi alle superficie di genere 0, 1 (cap. III). 



Il maggiore interesse si concentra nello studio dei sistemi puri (C) (completi); 

 il sistema aggiunto permette di dedurre che la loro serie caratteristica è completa 

 se tale è quella del sistema canonico (o se il sistema canonico non ne ha alcuna) 

 (cap. IV): in siffatta ipotesi per l'intersezione di due curve C di (C) passano 2p-{- w — i 

 curve (linearmente indipendenti) del sistema aggiunto a (C), essendo p il genere della 

 superficie, i — 1 la dimensione del sistema residuo di (C) rispetto al canonico {l'in- 

 dice di specialità i — se (C) è non speciale cioè non contenuto nel canonico) ed uu > 0; 

 designo in col nome di sovrabbondanza di (C) perchè (come risulta più tardi) se si 

 suppone la superficie in S 3 e si fa segare (C) mediante aggiunte in modo arbitrario, 

 la sua dimensione virtuale p calcolata in base alle forinole di postulazione di Noether 

 è tale che (indicando con r la dimensione effettiva di (C)) si ha: 



r — p = w — i. 



Se tt è il genere di (C) ed n è il suo grado, si ha la relazione 



