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FEDERIGO ENRIQUES 



in conseguenza passare per altri punti della superficie in numero finito m — 1 va- 

 riabili con esso, e si ha allora sulla superficie una seiie co 2 di gruppi di ni punti 

 tale che un punto appartiene ad un gruppo della serie, ossia ciò che può dirsi una 

 involuzione I m ; possiamo dire che il sistema appartiene all'involuzione I m ; diremo sem- 

 plice un sistema in cui il passaggio d'una curva generica per un punto non trae di 

 conseguenza il passaggio per altri punti variabili con esso. 



Un sistema oo 2 [rete) appartiene ad una involuzione I D , se D è il suo grado. 

 Tranne per le superficie omaloidi un sistema semplice ha sempre la dimensione h > 2. 



Si riferiscano proiettivamente le curve del sistema semplice (C) agli iperpiani 

 (Sft_!) di S k ; ogni punto della superficie S è base per un sistema lineare od 1 ' 1 costi- 

 tuito da tutte le curve di (C) che passano per esso ; a questo sistema oo l '~ l corisponde 

 in Ss la co^ -1 degli iperpiani per un punto P, ossia la stella di centro P: in questo 

 modo nascono in S k co 2 punti P i quali generano una superficie F, e poiché, per 

 ipotesi, (C) è un sistema semplice, la superficie F è riferita alla S punto per punto. 

 Indicheremo brevemente la trasformazione eseguita dicendo che si è trasformata la 

 S in un'altra superficie F di S fc su cui le curve del dato sistema (C) sono segate dagli 

 iperpiani od anche dicendo che facciamo segare sulla saperficie le curve del sistema (C) 

 dagli iperpiani di S*. 



La trasformazione indicata non riesce più biunivoca se il sistema (C) non è 

 semplice. In tal caso possiamo sempre costruire un sistema lineare co 1 di curve 

 (fascio razionale) che non appartenga all'involuzione I m cui appartiene (C); invero 

 basta considerare il fascio segato da un fascio di iperpiani (o di piani) nello spazio 

 S r a cui la superficie S appartiene, escludendo (tatt'al più) posizioni particolari dello 

 S r _ 2 base. Ciò posto si riferiscano proiettivamente le curve del sistema (C) agli iper- 

 piani (S k ) di un Sjt-i-i per un punto e le curve del fascio razionale agli iperpiani 

 per un S^ in Sk+i non contenente 0: un punto della superficie S è base per un 

 sistema co'"" 1 di curve in (C) ed appartiene ad una curva del fascio; al sistema oo' !_l 

 corrisponde la forma degli iperpiani aventi una retta base per 0, ed alla curva un 

 iperpiano per lo S fc _! che incontra la detta retta in un punto P ; il luogo dei punti P 

 così costruiti è una superficie F di Sk+i riferita biunivocamente alla S su cui le curve 

 del sistema (C) sono segate dagli iperpiani per 0. 



Questa 2 a trasformazione riesce biunivoca per tutti i sistemi (C) (naturalmente 

 anche per quelli semplici) tali che il passaggio di una curva di essi per un punto 

 non tragga di conseguenza il passaggio per infiniti punti. Infine anche un fascio ra- 

 zionale di curve può farsi segare dai piani d'un fascio in S 3 (o dagli iperpiani d'un 

 fascio in un iperspazio), adoprando una rete (od altro sistema) ausiliaria e compiendo 

 la trasformazione indicata innanzi. È utile che ci fermiamo a considerare alcune par- 

 ticolarità di queste trasformazioni ottenute partendo da una rete e da un fascio (nel 

 seguito si sottintenderà razionale salvo avviso in contrario), come pure di un'altra 

 trasformazione analoga che può ottenersi partendo da tre fasci, poiché nel seguito ci 

 occorrerà di richiamare queste proprietà. 



Si abbia una rete di grado D, ed un fascio di cui una curva generica seghi in 

 n punti variabili una curva della rete e che non appartenga all'involuzione I D che 

 la rete determina; riferiamo proiettivamente le curve della rete ai piani per un 

 punto e le curve del fascio ai piani per una retta r (non contenente 0), compiendo 



