RICERCHE DI GEOMETRIA SOLLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



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così la trasformazione della data superficie. Sulla nuova superficie F i piani per r 

 segano (fuori di r) curve d'ordine n (aventi n punti comuni coi piani per 0); ad un 

 punto della r corrispondono i D punti base d'un fascio appartenente alla rete, e quindi 

 la r è D pia per la F, la quale risulta d'ordine n -{- D ; una retta per sega la 

 F in D punti (base d'un fascio immerso nella rete), quindi è « pio per la superficie F: 

 inoltre la superfìcie contiene curve multiple secondo h v h 2 ,... (in generale una curva 

 doppia) i cui punti corrispondono risp. a gruppi di h u h 2 ,... punti contenuti in un gruppo 

 della involuzione I D cui appartiene la rete ed appartenenti ad una stessa curva del 

 fascio; vi sono poi in generale rette multiple per della F e punti multipli isolati 

 corrispondenti a curve che non hanno intersezioni variabili con quelle della rete 

 (fondamentali), ed infine la F potrà presentare anche altre singolarità in corrispon- 

 denza a singolarità della primitiva superficie. E anche d'uopo avvertire che dalla 

 superficie F può eventualmente staccarsi un certo numero di volte il piano r, ed 

 allora soltanto la parte residua dovrà considerarsi la trasformata propria della su- 

 perficie data; il caso accennato si verifica se il fascio e la rete hanno una curva 

 comune cui corrisponda il piano Or sia considerato come appartenente alla stella di 

 centro 0, sia come appartenente al fascio di asse r. 



In modo analogo potranno vedersi le proprietà, che ora accenno, della trasfor- 

 mazione in cui si fanno segare 3 fasci dai piani risp. per 3 rette r h r 2 , r 3 (non pas- 

 santi per un punto). Se le curve del 1° fascio incontrano quelle del 2° risp. in n 2 , n 3 

 punti e quelle del 2° e del 3° s'incontrano in n t punti (e 3 curve di ciascuno dei 

 fasci per un punto non han comuni altri punti variabili con esso), riferendo proietti- 

 vamente le curve dei 3 fasci risp. ai piani per r 1; r 2 , r 3 , la superficie si trasforma 

 in una F di ordine n x -j- n 2 -j- %, che ha le rette r v r 2 , >* 3 , multiple risp. secondo 

 n lt n 2 , n 3 , ecc. E da osservarsi che due rette ad es. r v r 2 possono essersi scelte 

 passanti per un punto 0, ed allora può ancora accadere che si stacchi il loro piano 

 (un certo numero di volte) dalla superficie F. 



Stabiliamo ora il seg. teorema : Se in un sistema lineare la curva generica si 

 spezza, o il sistema si compone delle curve irriduttibili d'un altro sistema a cui si sono 

 aggiunte delle curve (componenti) fisse, o le componenti irriduttibili delle curve del sistema, 

 formano un fascio (razionale o no) (1). 



Facciamo segare le curve del sistema (C) (in cui si può supporre k > 1) dagli 

 iperpiani di Sj+i per un punto sulla superficie F riferita in modo semplice o mul- 

 tiplo alla primitiva; la F non può essere spezzata (poiché tale non si suppone la 

 primitiva), quindi dico che le sue sezioni iperpianali per non possono tutte spez- 

 zarsi tranne in rette per 0. Basta vedere il fatto per k = 2 potendosi altrimenti 

 proiettare la F in S 3 . Ora ricordiamo che la F può supporsi riferita semplicemente 

 alla primitiva superficie se la F stessa non è un cono di vertice (ossia la rete (C) 

 ha un grado): escluso che la F sia un cono, consideriamo un fascio di piani seganti 

 la F il cui asse r passi per e non appartenga alla F ; le curve C sezioni dei piani 

 per r formano un fascio cioè un sistema che sulla superficie irreduttibile F non può 



(1) Cfr. pei sistemi lineari nel piano : Bertini (" lstit. lomb. „, 1882), e per quelli su una qua- 

 lunque superficie: Noether, " Math. Ann. „, III, pag. 171; Vili, p. 524. 



