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FEDERIGO ENRIQUES 



spezzarsi in più sistemi; se in ogni piano per r la sezione della F è spezzata in 

 s (> 1) curve K, sulla varietà oo 1 che ha per elementi le curve K (componenti un 

 fascio) i gruppi di s curve costituenti le C formano una serie lineare g s l la quale 

 possiede almeno 2 (s — 1) elementi di coincidenza: si arriverebbe così alla conclusione 

 che per un'arbitraria retta r per vi sono dei piani tangenti alla F lungo una linea 

 (una K), e poiché vi sarebbero infiniti di tali piani la F sarebbe contata più volte, 

 ciò che è assurdo. 



Ciò posto nel 1° caso (cioè se le sezioni generiche della F per sono irredut- 

 tibili) alla curva generica di (C) corrisponde una parte variabile irreduttibile sezione 

 della F con un iperpiano per 0, ed il punto che non può esser dato se non da 

 componenti fisse; nel 2° caso le curve del sistema (C) si compongono con quelle 

 del fascio, rappresentato dalle co 1 rette per sulla F. Così ogni sistema riduttibile 

 di cui le curve non si compongono delle curve d'un fascio definisce un sistema irre- 

 duttibile di ugual dimensione ottenuto staccando le componenti fìsse: diremo genere 

 e grado del primitivo sistema quelli del sistema irreduttibile così definito, ed esclu- 

 deremo nel seguito la considerazione dei sistemi di cui la curva generica si compone di 

 m curve d'un fascio. 



Sussiste pure il teorema : 



In un sistema lineare di curve irreduttibili la curva generica non può avere punti 

 multipli fuori dei punti base, e delle linee multiple della superficie (1). 



Nel sistema lineare si consideri un fascio (razionale); basterà dimostrare che 

 non può esistere una linea, non singolare per la superficie, luogo di punti multipli 

 delle curve del fascio; ne seguirà allora immediatamente il teorema enunciato. Ora 

 la dimostrazione si farà per assurdo. 



Supposto che esista una tal curva C luogo dei punti multipli delle curve del 

 fascio, si può immaginare sulla superficie una rete di curve per la quale il passaggio 

 per un punto della C non porti di conseguenza il passaggio per altri punti della C 

 stessa (in modo cioè che la C non sia luogo di coppie appartenenti a gruppi dell'in- 

 voluzione definita dalla rete), ed allora si può trasformare la superficie in una F su 

 cui le curve della rete sien segate dai piani per un punto 0, quelle del fascio dai 

 piani per una retta r, ed alla curva C venga a corrispondere sulla F una curva C 

 non singolare; ora la sezione piana generica della F per r non può avere punti mul- 

 tipli fuori della curva multipla della F stessa e della retta multipla r la quale 

 contiene i punti di contatto con F del piano generico per r; è dunque assurdo che 

 le sezioni piane per r della F abbiano dei punti multipli i quali descrivano la C 

 come avverrebbe per conseguenza della nostra ipotesi sulla C. 



2. Sistemi normali e sistemi completi. — Come è noto una superficie si dice nor- 

 male in un S„ a cui appartiene, quando essa non può ritenersi come proiezione di 

 una superficie dello stesso ordine (ossia da un punto esterno) di S n +i ; traducendo 

 questa definizione in linguaggio invarianti vo diremo normale un sistema lineare (avente 

 un grado) che non può esser contenuto in un altro dello stesso grado. E chiaro, appunto 



(1) Cfr. pei sistemi piani: Bertini (1. e). 



