RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



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, (« — *' — 1) (n — i' — 2) (m — i') (m — i' — 1) . , . 

 * i — 2 2 5 + Ò 2' 



La curva C di genere tt 2 sezione della F col piano r r' da cui sieno tolte le r, r', 

 è d'ordine n — i — i', ed ha ò — ò x — b 2 punti doppi (almeno) fuori di (o mol- 

 teplicità equivalenti), poiché la curva composta C -f- r -f- r' ha ò punti doppi (o mol- 

 teplicità equivalenti) sulla curva doppia (o multipla) della F fuori di 0, di cui ò 1 

 dipendono dal fatto che il piano della C passa per la retta multipla r, 0/ dal fatto 

 che passa per Il genere della C vale dunque 



, (« — i — i' — 1) [n — i — i' — 2) (m — i — i') (ni — i — i' — 1) . , . , t , 



TT 2 < ò -f bj + ò j, 



dove il segno < dovrebbe prendersi se la C avesse ulteriori punti multipli acci- 

 dentali (di cui potrebbe escludersi l'esistenza). 



Ora dalle uguaglianze scritte segue: 



ir — TTj = i (n — m — 1) — òj 



tt — tt'i = i' (n — m — 1) — b'j 



tt — TCo > (i + i') (n — m — 1) — ò 1 — ò'j , 



ossia 



TT — TT2 — 2tT — TTj — Tt'j. 



Ma secondo le nostre ipotesi 



TT 2 = TTj = TT'j, 



quindi 



TT — TT 2 > 2(TT — TT 2 ) 

 TT < TT 2 . 



Dico che ne segue 



tt = tt 2 e perciò 71 = ^ = tz\. 



Infatti tt è il genere d'una sezione piana generica della stella di centro su F, 

 se questa sezione si particolarizza comunque spezzandosi in s parti di genere k u 

 k 2 ... k s di cui due parti di genere k r , k f si segano in i r . P punti, si ha, secondo una 

 formula di Noether (1), 



TT > fcj -f- ... -j- k s + Zij-p — 1 



(lj " Acta Mathematica „, 1886. È da prendersi il segno = quando nessuna delle componenti 

 della curva spezzata acquista punti multipli accidentali. 



