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FEDERIGO ENRIQUES 



dove la somma è estesa a tutte le combinazioni di r, p; siccome la curva composta 

 spezzata è connessa perchè limite di una curva irreduttibile connessa, almeno s fra 

 le i r p non possono essere o, quindi 



ir > fc x -f t 2 + - + 



perciò nel nostro caso : 



TT > TT 2 TT — TT 2 = TTj =■ Tt'.j. 



Si deduce che i piani per segano ancora sulla F una rete di curve dello stesso 

 genere dei due fasci e della loro curva comune parziale, nella quale i due fasci sono 

 contenuti (tutti e due parzialmente o uno parzialmente e uno totalmente). Si conclude: 



Due fasci di curve dello stesso genere aventi comune una curva di ugual genere, 

 sono contenuti in una rete dello stesso genere, e sono contenuti totalmente in una tal 

 rete se la loro curva comune è totale. 



Questo teorema è suscettibile di una immediata generalizzazione. Infatti, sia 

 estendendo il metodo qui seguito, sia mediante le più elementari proprietà dei sistemi 

 lineari di enti si deduce che: 



Se due sistemi lineari oo r , co s di curve sopra una superfìcie hanno comune un 

 sistema oc* di curve dello stesso genere comune ai due sistemi (per <3 = o s'intende una 

 curva), vi è un sistema lineare co r+s ~ er che ha pure il detto genere in cui i due sistemi 

 sono contenuti. 



Il sistema cc^-* si costruisce prendendo risp. nei due sistemi co r , co s due fasci 

 che abbiano comune una curva del sistema co^ e costruendo la rete che contiene i 

 due fasci come prima abbiam visto. 



Supponiamo che i sistemi co T ; co s e quello oo comune abbiano il grado D (ff >2); 

 ossia che il sistema co? sia contenuto totalmente nei due. Facendo segare le curve 

 del sistema co r+s ~°' dagli iperpiani per un punto in Sr+s-^+i , si vede che questo 

 sistema ha pure il grado D, giacche altrimenti gli S s _o- base dei sistemi d'iper- 

 piani seganti i due sistemi oo s , co'' conterrebbero qualche curva o punto della su- 

 perficie F ed il sistema co 0, segato dagli iperpiani per lo Sr+s-zr a cui S r _?, Ss-,, 

 appartengono, avrebbe un grado minore di quello dei due sistemi co r , oo s . Tanto 

 basta per concludere che un sistema di dato grado non può appartenere a due di- 

 versi sistemi normali (s'intende dello stesso grado), giacche questi sarebbero con- 

 tenuti in un altro di ugual grado. Ora poiché la dimensione d'un sistema lineare 

 non può superare il grado aumentato di una unità, concludiamo: 



Un sistema lineare di dato grado appartiene ad un determinato sistema normale 

 dello stesso grado. 



Quando si ha una sola curva (od un fascio) non si può parlare di sistema nor- 

 male individuato da essa, mancando per essa la nozione di grado: bisogna quindi 

 ricorrere al concetto di sistema completo. 



Noi possiamo per ora asserire (in modo analogo al prec. teor.) che: 



Una curva non può appartenere a due diversi sistemi completi dello stesso suo genere. 



Non possiamo però trarne la conclusione generale che esista un sistema com- 



