RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



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pleto (con un numero finito di dimensioni) individuato da una data curva: occorre 

 perciò fissare un massimo della dimensione d'un sistema di dato genere, e questo 

 massimo manca ad es. pei sistemi di curve razionali nel piano e di curve di genere 

 più alto sulle rigate di genere > : queste classi di superficie verranno escluse nei 

 cap. che seguiranno, e dopo aver parlato del genere p delle superficie vedremo come 

 per p > il teorema accennato sussista senza eccezione (cap. II). Intanto una curva 

 appartiene ad un determinato sistema completo se si sa che essa è contenuta (anche par- 

 zialmente) in un sistema completo. 



3. Sistemi residui. — Teorema del resto. — Tutte le curve C d'un sistema lineare 

 (K) che insieme ad una stessa C formano una curva totale C -f- C' di (K) costituiscono 

 il sistema residuo della curva C rispetto al sistema (K): è da avvertire che la C potrà 

 essere una curva composta e tra le sue componenti potranno esservi dei punti base 

 per (C). 



Sia (K) un sistema completo e (C) il residuo della curva C rispetto ad esso. 

 Si consideri (se vi è) un sistema contenente (C) e dello stesso genere di esso, ed 

 in quel sistema un fascio contenente una curva generica C di (C); il detto fascio 

 venga fatto segare sulla superficie F dai piani per una retta r', mentre un fascio 

 di curve K di (K) contenente la C -\- C venga segato dai piani per una retta r inter- 

 secante la r in un punto : inoltre il piano r r' considerato come appartenente ai 

 due fasci corrisponda risp. alle curve C e C -\- C, di guisa che esso si stacchi (un 

 certo numero di volte) dalla superficie F. Staccato il detto piano la curva C vien 

 rappresentata dalla sezione di esso sulla F fuori di r r' . 



Sia tt il genere d'una sezione piana generica della F per 0, tTj il genere d'una 

 sezione per r, tt/ quello d'una sezione per r', tt 2 il genere della C; si ha per ipo- 

 tesi tt 2 = tt/ : come abbiam visto nel precedente §, sussiste la relazione 



TT — TTq — 2TT — TTj — Tt'j 



e quindi, posto in esso tt/ = tt,, segue tt < TTj e però tt = ttj. 



Si deduce che le sezioni per della F sono curve del sistema completo (K) di 

 genere tt, e poiché la C -f- C è una curva totale di questo sistema la r non appar- 

 tiene ad F. 



Il fascio delle sezioni piane per r' (contenente C) appartiene dunque parimente 

 a (K) ed esso è il residuo della componente della C rappresentata dalla r' ; le altre 

 componenti debbono necessariamente essere curve razionali giacche se il genere di 

 una curva spezzata (connessa) è uguale al genere di una componente, le altre com- 

 ponenti sono di genere (avendosi il genere della curva composta maggiore od 

 uguale della somma dei generi delle sue parti): si vede così che nel caso più gene- 

 rale possibile la C si spezza in due parti G u C 2 (la 2 a delle quali composta di parti 

 razionali) in modo che il sistema residuo di Cj rispetto a (K) è il sistema completo 

 a cui appartiene il residuo (C) della C (= C x -f~ C 2 ). 



Così si ha intanto : 



Il sistema residuo d'una curva G, senza componenti razionali (o punti), rispetto ad 

 un sistema completo (K) è completo. 



Serie II. Tom. XLIV. * 



