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FEDERIGO ENRIQUES 



Supponiamo che (C) abbia un grado e consideriamo il sistema normale di ugual 

 grado oo s a cui appartiene : questo è contenuto nel sistema completo residuo di G t 

 rispetto a (K). 



Si consideri (se esso non è completo) un sistema oo s+1 di curve generiche del 

 sistema completo residuo di Ci che contenga in se il sistema normale co 5 e si fac- 

 ciano segare queste curve dagli iperpiani di S s+ i sulla superficie (semplice o mul- 

 tipla) F'. Il sistema oo s vien segato dagli iperpiani per un punto in generale mul- 

 tiplo per F', ed al punto corrisponde sulla data superficie una curva C 3 (composta 

 forse anche di punti) tale che il residuo della C x -f- C 3 rispetto a (K) è il sistema 

 normale a cui appartiene (C). Perciò la C 3 fa parte della C 2 (la quale insieme con 

 Gì costituisce la C che ha per residuo (C')) ; e siccome il sistema (C) deve esser 

 contenuto totalmente nel sistema normale di ugual grado che esso determina, si de- 

 duce che C 3 coincide con C 2 , e però (C) col sistema normale residuo di G 1 -\- C 3 = 

 C x + C 2 = C. 



La deduzione sussiste ancora se il sistema (K) non è completo ma soltanto nor- 

 male purché appartenente ad un sistema completo. Infatti in tal caso se la dimen- 

 sione di (K) è r, possiamo considerare un sistema CC+ 1 che lo contenga appartenente 

 al sistema completo (U) che (K) determina ; le ca r+1 curve posson farsi segare dagli 

 iperpiani di S r +i sulla superficie (semplice o multipla) F'; su di essa si ha allora un 

 punto (in generale multiplo) rappresentante una curva L il cui residuo rispetto 

 al sistema completo (U) è il sistema normale (K); basta aggiungere alla C la L e 

 considerare il residuo di L -j- C rispetto al sistema completo (U) per trarne la con- 

 clusione che il sistema residuo (C) è normale. Dunque: 



// residuo d'una curva rispetto ad un sistema normale (appartenente ad un sistema 

 completo) è un sistema normale (se ha un grado). 



Nel sistema completo (K) sieno contenuti parzialmente i due sistemi irredutti- 

 bili (C) e (C) tali che (C) sia il residuo di una curva generica C rispetto a K, e 

 (C) il residuo di una generica C. Supposto (per brevità) che la superficie non sia 

 razionale, le C, C generiche non sono razionali, quindi (C) e (C) (residui di esse rispetto 

 al sistema completo (K)) sono completi (la deduzione sussiste anche per le super- 

 ficie razionali). Poiché una curva generica di un sistema completo lo determina in 

 modo unico, si trae la conclusione che (C r ) è il residuo d'ogni altra curva C di (C), 

 e (C) è il residuo di ogni altra curva G' di (C). Dunque: 



Se in un sistema completo (K) sono contenuti parzialmente due sistemi irreduttibili 

 (C), (C), tali che ciascuno di essi sia il residuo rispetto a (K) di una curva generica 

 dell'altro, ciascuno dei due sistemi è il residuo rispetto a (K) di ogni curva dell'altro; 

 così tra i sistemi (C), (C) è stabilito un tal legame reciproco che ogni curva dell'uno 

 insieme ad una curva dell'altro costituisce una curva totale di (K). 



Questo teorema è noto sotto il nome di teorema del resto {Restsatz (1)), i due 

 sistemi (C), (C) diconsi residui uno dell'altro. 



4. Sistema somma di due sistemi. — Sieno dati due sistemi co r , co s e si facciano 

 segare le curve di essi sulla superficie F in S, + s risp. dagli iperpiani per un S r _i e 



(1) Noether, " Math. Arni. „, 8. 



