EICERCHE DI GEOMETRIA SDLLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 187 



per un S s _! riferendo le dette curve proiettivamente ai nominati iperpiani; le qua- 

 driche di S r + S per S r _„ S,_i segano sulla F un sistema contenente tutte le coppie di 

 curve composte con una curva d'un sistema e uno dell'altro, e contenente totalmente 

 le dette coppie: cosi accade che se n, n', sono i gradi dei due sistemi e la curva 

 generica dell'uno incontra in D punti quella dell'altro, il sistema segato su F dalle 

 quadriche per S r _i, S s _! è di grado n -\- n' -\- 2 D. Il detto sistema apppartiene ad 

 un determinato sistema normale; non possono esistere due sistemi normali diversi 

 contenenti tutte le coppie di curve dei due dati sistemi poiché essi avrebbero comune 

 un sistema dello stesso grado. Dunque: 



Esiste un determinato sistema normale irreduttibile contenente totalmente tutte le 

 coppie di curve composte con una curva d'un sistema normale e una d'un altro (irre- 

 duttibili): esso si dirà il sistema somma dei due nominati. 



Il sistema somma d'un sistema (C) con se stesso si dirà il suo doppio; il sistema 

 rplo di (C) risulta definito come somma di (C) col sistema (r — 1) pio di (C) ed è un 

 determinato sistema normale contenente totalmente tutti i gruppi di r curve di (C). 



Si può considerare il sistema somma di (C) con una curva (che in una trasfor- 

 mazione può essere sostituita da un punto), ma le curve di questo possono anche 

 esser spezzate in quelle di (C) e nella curva nominata. 



IL 



Il sistema canonico. 



1. Superficie aggiunte. — Una superficie F di S 3 ha in generale una o più curve 

 multiple e dei punti multipli particolari che diremo isolati appartenenti in vario modo 

 alle curve multiple. Se si considera una retta r non appartenente alla F che passi 

 per un suo punto multiplo o, può darsi che la sezione piana generica della F per r 

 abbia in o una singolarità superiore di quella competente alla sezione generica della 

 stella di centro o; si dirà in tal caso che sulla retta r vi è un punto multiplo in- 

 finitamente vicino ad o; se la r è tangente ad una curva ipla per o, vi è certo su 

 di essa un punto iplo infinitamente vicino ad o, ma questo non è un punto iplo iso- 

 lato. Se non vi sono punti multipli isolati infinitamente vicini a qualche punto mul- 

 tiplo (isolato) della F si dirà che la F ha punti multipli isolati distinti: introduciamo 

 per ora tale restrizione. Diremo superficie aggiunta alla F (1) ogni superficie che 

 gode delle due proprietà caratteristiche seguenti: 



(1) Cfr. Noether (" Math. Ann. „, 2, 8). 



