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FEDERIGO ENRIQUES 



a) sega un piano generico secondo una curva aggiunta alla sezione piana 

 della F; 



b) sega un piano passante per un punto multiplo isolato secondo una curva 

 che insieme ad una retta arbitraria per il punto costituisce una linea aggiunta alla 

 detta sezione piana. 



Segue che se la F è dotata solo di singolarità ordinarie una sua superficie 

 aggiunta è sottoposta alla condizione di avere come (i — l)pla ogni curva ipla della F 

 e come [n — 2)plo ogni punto wplo di essa : ma non possiamo escludere che per 

 effetto delle condizioni imposte ogni superfìcie di un dato ordine aggiunta alla F 

 possa avere nei punti singolari della F molteplicità superiori di quelle assegnate, 

 o (come diremo più brevemente) delle ipermolteplicità. 



Quando poi si tratta di singolarità straordinarie, per questo solo fatto può avve- 

 nire che le aggiunte debbano avere nei punti (o curve) multipli molteplicità superiori 

 di quelle indicate: così p. e. un punto doppio isolato ordinario non appartiene in 

 generale alle aggiunte della superficie F, ma se il punto è un contatto della super- 

 ficie con sè stessa (tacnodo) (1), in guisa che in ogni piano per esso la sezione ha ivi 

 un tacnodo, segue dalla definizione che le superficie aggiunte alla F debbono passare 

 (semplicemente) per quel punto. 



Se n è l'ordine della superficie F, una sua aggiunta ip„_ 4 d'ordine n — 4 (se esiste) 

 sega un piano qualunque secondo una curva C n _ 4 aggiunta alla sezione C„ della F, 

 (la quale insieme ad una retta dà una C n _ 3 aggiunta alla C„) e quindi se la ip„_ 4 non 

 ha ipermolteplicità nella linea singolare della F, la sua curva sezione colla F (fuori 

 della linea multipla) sega una C„ sezione piana generica in un gruppo residuo (2) di 

 quelli segati dalle rette del piano: per togliere ogni caso d'eccezione noi possiamo 

 osservare che, allorquando la ^„_ 4 e quindi la C n _4 ha delle ipermolteplicità nei punti 

 singolari della C„, si debbono riguardare come cadute in quei punti alcune delle 

 intersezioni della iy n _ 4 colla C„, giacche in una trasformazione della C„ a quei punti 

 in quanto sono ipermultipli corrispondono punti della curva trasformata che com- 

 pletano su di essa il gruppo residuo di quello corrispondente all'intersezione di una 

 retta colla C„. Un riguardo analogo deve aversi per le sezioni piane passanti per 

 un punto multiplo della F. 



Così si abbia una superficie F d'ordine n dotata di un punto iplo (ordinario) 

 e si supponga che abbia una molteplicità > i — 2 (per precisare i — 1) per le super- 

 ficie v)j„_ 4 d'ordine n — 4 aggiunte alla F : allora ciascuna di esse sega sopra una sezione 

 piana per fuori dei punti multipli un gruppo residuo di quello segato da una retta 

 generica del piano, e contenuto nel residuo di quello segato da una retta per ; 

 secondo le nostre convenzioni riguardo alle ipermolteplicità dobbiamo però conside- 

 rare il gruppo segato da una ip n _ 4 sulla sezione piana di F per fuori dei punti 

 multipli come la somma del gruppo considerato e di quello degli i punti infinitamente 



(1) Cfr. ad es. la superfìcie del 4° ordine con tacnodo di Cremona (" Collectanea mathematica „) 

 e Noether (" Gottinger Nachrichten „, 1871 e " Math. Ann. „ 33). 



(2) Nel senso dei signori Brill e Noether C Math. Ann. „, 7), cioè rispetto alla serie spe- 

 ciale gl p ^.2 della curva che (seguendo una denominazione del sig. Segre) si dirà serie canonica della 

 curva. 



