RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



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vicini ad : trasformando la superficie si ha come corrispondente alla sezione della 

 vy„_i in F la curva che corrisponde alla sezione propria della iy„_ 4 e quella luogo dei 

 punti corrispondenti ai punti infinitamente vicini ad 0, ed allora questa curva com- 

 posta delle due nominate sega proprio un gruppo residuo della serie caratteristica 

 sopra una curva generica della rete trasformata di quella delle sezioni piane per 

 della F. 



Per chiarire riferiamoci ad un esempio. Si consideri un sistema lineare co 1 ', 

 (r > 2) ed in esso le curve d'una rete che hanno r — 2 punti fìssi : si può costruire 

 (fissando una curva del sistema fuori della rete) un sistema co 3 che contenga la rete, 

 e supporremo che esso sia semplice: facendo segare le sue curve dai piani sulla 

 superficie F d'ordine n le superfìcie iy„_ 4 d'ordine n — 4 aggiunte alla F segano 

 sulla F una curva C la quale determina un gruppo residuo della serie segata dai 

 piani sopra una sezione piana generica, per modo che la linea corrispondente C sulla 

 prima superfìcie sega un gruppo residuo della serie caratteristica sulla curva gene- 

 rica del sistema co 3 ; supponiamo inoltre che la F abbia solo una curva doppia e 

 non di molteplicità superiore, cioè non esistano infinite terne di punti presentanti una 

 sola condizione alle curve del sistema co 3 . Al gruppo base di r — 2 punti per la 

 rete contenuta nel sistema co 3 che stiamo considerando, corrisponde sulla F un punto 



(r — 2)plo che è ^ ~ 2 ^ ' —pio per la curva doppia : si vede quindi che il punto 



è (r — 3)plo per le iy„_^ aggiunte alla F (anziché (r — 4)plo) ; questo fatto porta che 

 la C sega sulla curva generica della rete un gruppo residuo della serie caratteri- 

 stica aumentata del gruppo base (di r — 2 punti) della rete, ciò che è d'altra parte 

 una conseguenza del modo con cui la C è stata costruita : la C aumentata degli 

 (r — 2) punti base della rete sega quindi un gruppo residuo della serie caratteristica 

 sopra la curva generica della rete; essa gode dell'analoga proprietà anche rispetto 

 al sistema co 3 contenente la rete, poiché i punti base della rete sono curve senza 

 intersezioni colle linee del sistema che non passano per essi. 



Ciò posto possiamo dire che: 



Una superficie vp„_ 4 d'ordine n-4 aggiunta ad una F d'ordine n sega sopra una 

 sezione piana generica (fuori dei punti multipli) un gruppo residuo di quello segato da 

 tutte le rette del piano, e sopra una qualunque sezione piana per un punto multiplo iso- 

 lato un gruppo residuo di quello segato dalle rette per il punto. Così pure sega un 

 gruppo speciale, contenuto nel residuo del gruppo dei punti base semplici, sopra la sezione 

 piana generica di un fascio il cui asse contenga quanti si vogliano punti multipli o sia 

 una retta multipla. 



Infatti una retta r ipla della F è (i — l)ipla per una mj„_ 4 aggiunta e quindi la 

 sezione della ty n _i con un piano generico passante per la retta si compone di una curva 

 C n _i_ 3 e della retta r contata (i — 1) volte ; la C„_<_3 ha come punto (p — l)plo un punto 

 pplo della sezione C„_; della F fuori di r, e così pure come punto (p — l)plo un 

 punto (p -j- Opl° della C„_, sulla r, giacche questo punto (p -f- *)plo per la sezione 

 totale di F, è (p — j— * — 2)plo per la curva composta di C„_,_ 3 e di r contata i — 1 

 volte. 



Se invece la r non appartiene alla F, essa, insieme alla sezione C„_ 4 della iPn— 4 

 con un piano per essa, dà una curva C„_ 3 aggiunta alla sezione piana della F. 



