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FEDERIGO ENRIQUES 



Le proprietà che secondo il teorema precedente competono ad una curva sezione 

 della ip B _, sulla F (tolta la curva multipla) sono caratteristiche per questa curva, 

 anzi due sole di esse bastano a definirla, dico cioè (per limitarmi a ciò che qui 

 occorre) che : 



Se si ha una superficie F (non rigata) e si considera una stella di sezioni piane 

 di essa tale che pel suo centro non passino rette multiple infinitamente vicine, e si ha 

 una curva C la quale seghi un gruppo residuo di quello segato dai piani della stella 

 sulla sezione generica di essa e seghi un gruppo speciale contenuto nel residuo del 

 gruppo dei punti base semplici sulla curva sezione generica d'un fascio contenuto nella 

 stella, la C è sezione della superficie F (d'ordine n) con una determinata superficie ag- 

 giunta d'ordine n — 4 (iy n _ 4 ). 



Sia il centro della stella ed r una qualunque retta per esso, la quale sup- 

 porremo non incontri la curva in questione C: un piano per r sega la F secondo 

 una curva K, su cui la C sega un gruppo che insieme al gruppo segato da una retta 

 per dà un gruppo canonico, cioè un gruppo sezione di una determinata curva 

 d'ordine n — 3 aggiunta alla K: questa aggiunta d'ordine n — 3 si spezza per altro 

 necessariamente (anche se è multiplo) nella retta per ed in una curva x d'or- 

 dine n — 4 aggiunta alla K tranne tutt'al più nel punto che risulta (i — 2)plo 

 almeno per essa se è iplo per la F (i > 2) : ora il luogo della curva x variando il 

 piano scelto per r è una superficie (contenente la data curva C) che si comporta nel 

 punto e rispetto alla curva multipla della F (tranne eventualmente rispetto a rette 

 multiple per 0) come una superficie aggiunta: se questa superficie contenesse r essa 

 dovrebbe segare F in qualche curva passante per le intersezioni di r con F, ma 

 poiché (la r essendo una retta arbitraria per 0) per queste non passa C nè la curva 

 multipla, e la ulteriore curva intersezione non ha con un piano per r altri punti 

 comuni fuori di C e dei punti multipli, la detta ulteriore intersezione dovrebbe com- 

 porsi di rette incontranti la retta arbitraria r fuori di 0, mentre la F non è rigata. 

 Dunque la superficie luogo della curva x è una iy n _4 di ordine n — 4 come la x- 

 Resta a vedersi che questa superficie ip„_ 4 si comporta come una aggiunta anche 

 rispetto alle rette multiple (eventuali) per ed ai punti multipli isolati fuori di 

 e che essa è determinata in modo unico dalla C, ossia è indipendente dalla r. 



Sia a una retta hpla della F per (h > 0) : se la ijj„_ 4 contiene la a con una 

 molteplicità < h — 1 (o non la contiene), essa sega un piano per a secondo una 

 curva d'ordine > n — h — 3 (oltre la a) la quale è aggiunta della sezione piana 

 della F (fuori di a) tranne forse rispetto a punti su a; per conseguenza in tale ipotesi 

 la iy n _ 4 segherebbe sopra la sezione piana del fascio di asse a un gruppo non speciale, 

 mentre il gruppo sezione appartenendo alla C è per ipotesi un gruppo speciale : così 

 risulta che la vp n _ 4 ha come (h — l)pla (almeno) la retta hpla a della F. 



Si consideri ora un punto multiplo isolato 0' della F, pplo per essa: la retta a = 00, 

 sarà in generale Apla per F con h > 0. Suppongasi dapprima h = 0: la ^„_ 4 sega (come 

 la C) un gruppo speciale sopra una sezione piana generica della F per a. contenuto 

 nel residuo del gruppo sezione di a (fuori dei punti multipli), quindi la curva d'or- 

 dine n — 4 sezione della iy n _ 4 con un tal piano dà insieme alla a una curva d'ordine 

 n — 3 segante la sezione piana di F in un gruppo speciale, la quale si comporta come 

 un'aggiunta rispetto ai punti multipli della detta sezione fuori di a, dunque essa ha 



