RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



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la molteplicità p — 1 (almeno) nel punto pplo 0' della F e perciò questo è (p — 2)plo 

 (almeno) per la i|/ n _ 4 : la conclusione permane se vi sono più punti multipli isolati 

 sulla a, giacche le ipermolteplicità che la ip„_ 4 potrebbe avere in qualcuno di essi 

 rappresenterebbero soltanto dei punti del gruppo segato da C caduti nell'intorno di 

 un punto multiplo. Suppongasi invece h > 0: allora la a è (h — l)pla per la iy (l _ 4 e 

 la i|j„_ 4 sega sopra un piano per a una curva d'ordine n — h — 3 la quale si com- 

 porta come un'aggiunta rispetto alla curva d'ordine n — h sezione della F col piano 

 (fuori di «) nei punti multipli della curva multipla; poiché essa sega sulla detta 

 curva un gruppo speciale si vede (analogamente al caso precedente) che ogni punto 0' 

 pplo su a deve essere (p — l)plo (almeno) per essa, ossia la vjj„_ 4 ha come (p — l)plo 

 (almeno) ogni punto pplo sulla retta hpla a. 



Finalmente la superficie vp„_ 4 (che si è dimostrato essere aggiunta alla F) è uni- 

 camente determinata dalla condizione di contenere la curva C. Infatti l'intersezione 

 della vp„_ 4 colla F si compone della curva multipla, della C ed eventualmente di rette 

 per 0; queste rette per non possono variare al variare della retta r che ha ser- 

 vito per la costruzione della iy n _, giacche altrimenti la F sarebbe un cono, quindi 

 l'intersezione della y„_ 4 colla F è fìssa al variare della r : tanto basta per affermare 

 che la ijj n _4 stessa è indipendente dal variare della r, giacche altrimenti si avrebbe 

 un fascio di superficie ip„_ 4 aventi fissa l'intersezione colla superficie F d'ordine n 

 (> n — 4), ciò che è assurdo. 



Così rimane stabilito il teorema enunciato in principio. 



Escluderemo nel seguito le superficie F rigate e le loro trasformate per le quali 

 d'altra parte si può stabilire che non esistono superficie aggiunte hj„_ 4 . 



Se è data una superficie F d'ordine n in S 3 e si considera la stella delle sezioni 

 piane per un punto fuori di essa si deduce: 



Se una curva C sega un gruppo residuo di quello segato da una retta arbitraria 

 sopra una sezione piana generica della F ; ed un gruppo contenuto nel residuo di quello 

 segato da una retta pel punto multiplo sopra una sezione piana generica per un punto 

 multiplo isolato, la detta curva C è la sezione colla F di una determinata superfìcie iy n _j 

 d'ordine n — 4 aggiunta alla F. 



2. Il sistema canonico. — I teoremi del precedente § sono suscettibili d'una più 

 vasta estensione conducendo ad un resultato generale che possiamo enunciare sotto 

 forma invariantiva. 



A tal fine diremo curva fondamentale per un sistema lineare ogni curva parziale 

 del sistema (cap. I), la quale presenti una sola condizione ad una curva del sistema 

 che debba contenerla; se la curva è irreduttibile basta assegnare la condizione che 

 la curva fondamentale non abbia intersezioni variabili colle curve del sistema, non 

 così se è composta: intendiamo per altro di includere sempre in una curva fonda- 

 mentale composta tutte le linee parziali (o punti) che si staccano da una linea del 

 sistema in conseguenza dello staccarsi di una parte di essa. 



Allora una linea fondamentale d'una rete di curve, quando questa venga segata 

 dai piani d'una stella, è rappresentata o da una retta (multipla) pel centro della stella, 

 o da uno o più punti multipli isolati sopra una retta pel detto centro ed eventual- 



