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FEDERIGO ENRIQUES 



mente anche dalla retta stessa; nel 1° caso la curva non è fondamentale per il 

 sistema ce 3 segato dai piani, nel 2° sì se si tratta d'un solo punto multiplo isolato. 



Una linea fondamentale d'un sistema semplice viene sempre rappresentata da 

 un punto multiplo sopra la superfìcie F trasformata facendo segare dagli iperpiani 

 (o piani) le curve del sistema: diremo che il sistema ha curve fondamentali distinte 

 se la superfìcie F ha punti multipli isolati distinti (cfr. § prec). Fisseremo l'analoga 

 definizione per una rete dicendo che essa ha curve fondamentali distinte quando è 

 impossibile fare segare le curve di essa sopra la superficie dai piani per un punto (in S 3 ) 

 per cui passano due rette multiple infinitamente vicine: è facile vedere che una rete 

 generica immersa in un sistema semplice co 3 con curve fondamentali distinte ha 

 curve fondamentali distinte, poiché non contiene due fasci infinitamente vicini residui 

 di curve fondamentali. 



Ciò posto noi stabiliamo ancora di definire come serie caratteristica di un si- 

 stema lineare la serie gj~ l che le curve del sistema (di dimensione r e grado D) 

 segano sopra una curva generica del sistema stesso (1) : i piani d'una stella (ossia le 

 rette pel centro) segano sopra una sezione piana la serie caratteristica della rete 

 delle sezioni piane della stella stessa, ecc. 



Si abbia sopra una superfìcie una rete con curve fondamentali distinte e si 

 consideri un arbitrario sistema lineare oo k (k > 1) ed in esso un fascio generico 

 avente m punti base semplici: facciamo segare sulla superficie F (d'ordine n) le curve 

 della rete dai piani per un punto o, e le curve del fascio dai piani per una retta r 

 non passante per o; ai punti base semplici del fascio corrispondono rette per o sem- 

 plici per F (curve fondamentali della rete aventi una intersezione con ciascuna curva 

 del fascio). 



Sia c una curva la quale seghi un gruppo residuo della serie caratteristica sulla 

 curva generica della rete, ed un gruppo speciale contenuto nel residuo del gruppo 

 dei punti base semplici sulla curva d'un fascio contenuto nella rete ; come nel prec. § 

 si prova che la c è sezione della superficie F d'ordine n con una superficie 4J„_ 4 

 d'ordine n — 4 la quale si comporta come un'aggiunta rispetto alle linee multiple 

 della F (quantunque forse la F possa non avere punti multipli isolati distinti): dico 

 inoltre che la ip„_, contiene le rette semplici per o corrispondenti ai punti base del 

 fascio fatto segare dai piani per r. Infatti un piano per una tal retta a sega la F 

 secondo una curva ~K n -i d'ordine n — 1 (fuori di r) e la c sega la K„_j secondo un 

 gruppo che insieme ad una retta per o, p. es. insieme alla r, costituisce un gruppo 

 canonico, sicché la curva sezione della vjJ n _ 4 fuori di r è una curva d'ordine n — 5 

 che insieme alla r costituisce un'aggiunta d'ordine n — 4 alla K„_i, perciò la r ap- 

 partiene alla vjj n _j, cdd. Ne segue che la c aumentata delle rette per o analoghe ad a 

 sega sopra la curva sezione della F con un piano per r, un gruppo appartenente a 

 quello segato dalla y n -i, ossia dalla curva d'ordine n — i — 3 sezione della iy n _ ( col 

 piano fuori della r (supposta ipla per F) ed aggiunta alla sezione piana di F: in 

 altre parole la c sega un gruppo contenuto nel residuo del gruppo dei punti base 

 semplici sulla curva del fascio fatto segare dai piani per r, e sommata (ove occorra) 



(1) Cfr. pei sistemi di curve piane, Castelmuovo ( u Accad. di Scienze Torino, Memorie ,„ 1891). 



