RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



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con curve fondamentali della rete (ulteriore sezione della uj„_ 4 con F fuori delle 

 rette analoghe ad a) sega proprio un tal gruppo residuo sulla curva generica del 

 detto fascio. Si deduce che la c insieme ad eventuali curve fondamentali della data 

 rete sega un gruppo residuo della serie caratteristica sulla curva generica del si- 

 stema oo*. 



Il ragionamento precedente patisce eccezione se il fascio preso ad arbitrio nel 

 sistema oo* sulla superficie appartiene alla involuzione che la rete determina; in tal 

 caso sussiste ancora la conclusione precedente perchè la c (completata ove occorra) 

 gode della stessa proprietà fissata per la primitiva rete rispetto ad altre reti non 

 appartenenti alla stessa involuzione. 



Così possiamo enunciare il teorema : 



Se una curva C sega un gruppo residuo della serie caratteristica sulla curva gene- 

 rica d'un sistema oo r (con r > 2) dotato di curve fondamentali distinte, ed un gruppo 

 contenuto nel residuo della serie caratteristica (che si riduce al gruppo dei punti base 

 semplici per un fascio) sulla curva generica di ogni sistema oo T-1 contenuto nel primo, 

 residuo d'una curva fondamentale, la curva C sola o insieme a qualche curva fonda- 

 mentale pel dato sistema sega un gruppo residuo della serie caratteristica sulla curva 

 generica d'un sistema co* (s > 2) (semplice o no) arbitrariamente fissato sulla superficie. 



Da questo teorema risulta che le curve C definite dalle proprietà indicate rispetto 

 ad un sistema oo r (r > 2) non dipendono dalla natura del sistema ove si prescinda 

 da certe componenti fisse di esse (curve eccezionali) : le curve C si ottengono come 

 sezioni della superficie F d'ordine n in S 3 colle superficie aggiunte d'ordine n — 4 

 quando la F sia stata preventivamente trasformata in modo da avere punti multipli 

 isolati distinti (come supponiamo), e perciò compongono un sistema lineare; segue 

 che le componenti variabili del sistema lineare segato sopra una superficie d'ordine n 

 dalle superficie d' ordine n — 4 aggiunte ad essa, si trasformano in curve analoghe 

 quando si trasforma birazionalmente la superficie; queste curve, legate invariantiva- 

 mente alla superficie, che diremo curve canoniche, segano sidla curva generica d'ogni 

 sistema lineare un gruppo contenuto in un gruppo residuo della serie caratteristica o 

 proprio residuo di essa (1) : dovremo poi distinguere quando si presenti l' uno o 

 l'altro caso. 



Il sistema canonico (costituito dalle curve canoniche) conduce in generale a due 

 caratteri invariantivi della superficie; cioè il 1° genere p (o semplicemente genere) 

 cioè la dimensione del sistema canonico aumentata di 1 (Flàchengeschlecht) (2), ed il 

 2° genere p w cioè il genere del sistema canonico (Curvengeschlecht di Noether); un 

 terzo carattere, il grado p l2 \ è legato al 2° genere p {1) dalla relazione 



= p w — 1 



stabilita dal Noether (Mathem. Ann. Vili), di cui ora dovremo discorrere. 



(1) L'invariantività delle curve canoniche è stata dimostrata per la prima volta dal sig. Noether 

 (" Math. Ann. „, II, Vili) con un lungo procedimento analitico. Il sig. Castelnuovo (" Istituto lomb. „, 

 1891) ne ha dedotto la proprietà qui enunciata di queste curve, la quale sotto le restrizioni del 

 precedente teorema risulta ora caratteristica di quelle curve. 



(2) Il concetto del genere per le superficie, fu dapprima stabilito da Clebsch (" Comptes rendus „, 

 1868), quindi il detto concetto fu stabilito dal sig. Noether (" Mathem. Ann. „, II) per tutte le 

 varietà algebriche più volte estese. 



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