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FEDERIGO ENRIQUES 



Se il 1° genere p = 1, mancano le curve canoniche propriamente dette (secondo 

 la nostra definizione), ma ogni sistema lineare ha la serie caratteristica speciale: 

 manca il secondo carattere p [1] : esiste una superficie d'ordine n — 4 aggiunta alla 

 superfìcie supposta d'ordine n in S 3 . 



3. Curve eccezionali. — Consideriamo un sistema semplice oo r (C) (r > 3) con un 

 punto base iplo (isolato) in un punto semplice della superficie F e trasformiamo 

 la superfìcie in una F' di S 3 su cui oo 3 curve generiche C di (C) vengano segate dai 

 piani : al punto corrisponde sulla F' una curva d'ordine i (che può anche ridursi 

 ad una curva d'ordine -4- contata j volte) la quale deve essere aggiunta ad ogni 

 curva canonica (insieme forse ad altre curve) per segare un gruppo residuo della 

 serie caratteristica sulla sezione piana generica di F'; infatti la curva composta di 

 una curva canonica e del punto sulla F sega un gruppo residuo della serie carat- 

 teristica sopra la curva generica di ogni sistema non avente il punto base e quindi 

 pel teorema principale del precedente § sega un gruppo residuo della serie caratte- 

 ristica anche sopra la curva generica d'un arbitrario sistema avente il punto base 0. 

 Dunque la curva d'ordine i che corrisponde al punto su F' appartiene a tutte le 

 superficie d'ordine n — 4 aggiunte alla F' supposta d'ordine n ; per questa proprietà 

 la detta curva dicesi (secondo il Noether Math. Ann. Vili) una curva eccezionale 

 della F' (ausgezeichnete). 



Viceversa si supponga l'esistenza di una curva eccezionale C d'ordine i sulla F' : 

 il sig. Noether (op. cit., § 514) ha indicato una trasformazione della superficie F' 

 in una F su cui alla C corrisponde un punto semplice per la F e base iplo per il 

 sistema delle curve corrispondenti alle sezioni piane della F'. 



La curva eccezionale C su F' può eventualmente essere sostituita da un punto; 

 la trasformazione della F' in una superficie F su cui la C è rappresentata da un 

 punto semplice (per F) e base (con data molteplicità) per il sistema delle curve C 

 corrispondenti alle sezioni piane della F' continua a sussistere, ma nel punto le 

 curve C hanno le tangenti fisse altrimenti ad corrisponderebbe una linea su F' : 

 reciprocamente se sopra una superficie F si considera un sistema (semplice) oo 3 

 (almeno) di curve C con un punto base semplice per F e con data molteplicità 

 per le C, dove le C hanno le tangenti fìsse, facendo segare le curve C r dai piani 

 (di S 3 ) sopra la superficie F', si ha su F' un punto 0' multiplo eccezionale, ossia un 

 punto ipermultiplo di cui un intorno rappresenta una curva appartenente a tutte le 

 curve canoniche; in particolare si può considerare l'esempio in cui le C tocchino 

 in una data retta, 0' è allora un punto doppio eccezionale per la F'. 



Risulta di. qua che non vi può essere sulla ¥' un punto eccezionale semplice 

 (per F'), ossia un punto base pel sistema canonico (semplice per la F'). Infatti 

 sulla superfìcie trasformata F il punto corrispondente ad 0' non potrebbe essere 

 un punto base isolato per le C, altrimenti gli corrisponderebbe una curva sulla F' ; 

 e d'altra parte se in le C hanno una tangente fìssa il punto 0' risulta doppio 

 almeno per la F\ 



Ora si consideri una trasformata F della F' senza curve (ne punti) eccezionali, 

 come è possibile con successive trasformazioni che mutino in punti semplici le curve 

 eccezionali della F'; sulla F, supposta d'ordine n, le superficie aggiunte mj„_ 4 (d'or- 



