RICERCHE DI GEOMETRIA SDI.LE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



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dine n — 4) segano fuori della curva multipla soltanto curve canoniche (e non com- 

 ponenti fisse eccezionali), e quindi le curve canoniche segano sulle sezioni piane 

 della F proprio un gruppo residuo della serie segata dai piani (non un gruppo con- 

 tenuto in un gruppo residuo). 



Se si considera sulla F un sistema semplice (oo 3 almeno) senza punti base e si 

 fanno segare le sue curve dai piani di S 3 , sulla superficie trasformata non nascono 

 curve eccezionali (che corrisponderebbero necessariamente a punti sulla F) e quindi 

 la proprietà indicata compete alle curve canoniche anche rispetto alle curve del nuovo 

 sistema. 



La proprietà di una superficie di S 3 di non possedere curve eccezionali si tra- 

 duce in una proprietà invariantiva pel sistema delle sezioni piane che può enunciarsi 

 dicendo che il sistema è privo di punti base, intendendo che il sistema non può acqui- 

 stare punti base (semplici per la superficie) sopra una superficie trasformata, e sce- 

 gliendo per tipo fra le trasformate una superficie senza curve eccezionali sulla quale 

 il sistema avrebbe necessariamente punti base se li avesse sopra un'altra superficie 

 riferita ad essa biunivocamente : con questa scelta della superficie tipo rimane pure 

 fissato che cosa si deve intendere quando si dice che un sistema ha certi punti base 

 con certe molteplicità; nella scelta medesima evitiamo di riferirci a quelle superficie 

 su cui accidentalmente i punti base del sistema cadano infinitamente vicini a punti 

 multipli. Infine queste definizioni non esigono che il sistema di cui si tratta sia 

 semplice. 



Con queste convenzioni l'esistenza di punti base d'un sistema costituisce una pro- 

 prietà invariantiva di esso che compete evidentemente al sistema normale definito dal dato 

 sistema (altrimenti il grado aumenterebbe). 



Diremo per brevità puro o impuro un sistema secondochè non ha o ha punti 

 base; diremo pure curva eccezionale sopra una superficie in S„ la curva che corri- 

 sponde ad un punto base pel sistema delle curve trasformate delle sue sezioni 

 iperpianali. 



Ora sopra una superficie F senza curve eccezionali si abbia un sistema puro 

 (semplice o no) : se una curva canonica non segasse proprio un gruppo residuo della 

 serie caratteristica sulla curva generica del sistema (supposto di dimensione >2), 

 tale proprietà competerebbe alla somma di essa con una curva eccezionale su F; 

 questa curva non potrebbe essere che un punto base pel sistema, ciò che contrasta 

 all'ipotesi che il sistema sia puro. Concludiamo: 



Una curva canonica sega proprio un gruppo residuo della serie caratteristica sulla 

 curva generica d'ogni sistema puro (oo 2 almeno) ed è caratterizzata da questa proprietà. 

 Parimente : 



Se un sistema impuro (co 2 almeno) ha s punti base isolati di molteplicità ij i 2 ... i s , 

 una curva canonica sega sulla curva generica di esso un gruppo che aumentato dei gruppi 

 di ij i 2 . . . i s punti infinitamente vicini ai rispettivi punti base dà un gruppo residuo della 

 serie caratteristica. 



Il sistema canonico non ha punti base (come abbiamo osservato), quindi la serie 

 caratteristica del sistema canonico è autoresidua e perciò 



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