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FEDERIGO ENRIQUES 



Con effettivi esempi (di superficie aventi il genere geometrico diverso dal nu- 

 merico che avrò occasione di menzionare) si vede che può avvenire l'uno o l'altro 

 caso ; importa però a noi di stabilire che questo fatto è legato invariantivamente alla 

 superficie e non dipende dal particolare sistema (C) considerato. 



Intanto notiamo che la questione posta equivale a quella di determinare la di- 

 mensione del sistema (K) aggiunto al sistema (C) di genere tv sopra una superficie 

 di genere p, infatti abbiamo avuto occasione di osservare nel precedente § che per 

 un gruppo canonico della C sezione di una K (di cui la C non fa parte) passano co p 

 curve K, quindi la dimensione di (K) è p -f- n — WJ — 1 essendo w (>■ 0) il difetto di 

 completezza della serie che (K) sega sulla C. Questa quantità ui >• che esprime la 

 differenza fra la dimensione virtuale (per dir così) p -j- tt — 1 dell'aggiunto a (C) e la 

 dimensione effettiva del detto sistema aggiunto, si designerà nel seguito con ò (C). 



Il sistema (C) sia un sistema puro semplice (quindi oo 3 almeno, essendo p>0), e 

 co 3 delle sue curve generiche sieno segate sulla superficie F dai piani di S 3 ; la F 

 risulta senza curve eccezionali; s'indichi con (C) il sistema canonico e con (C -(- C) 

 il sistema normale somma di (C), (C), ossia il sistema aggiunto a (C) ; analogamente con 

 (r C -j- C) il sistema aggiunto ad (r C); infine tt w designi il genere di (r C) (tt (1) == tt). 

 Il sistema (r C) contiene in se (totalmente) quello segato sulla F da tutte le super- 

 ficie cp r di ordine r; dato un arbitrario sistema (CO si può prendere r così grande che 

 per la curva generica Cj passino delle qp,, e quindi (CO sia contenuto (parzialmente) 

 in (r C); anzi per r assai elevato le q> r passanti per C x non passeranno in conseguenza 

 per altri elementi fissi e perciò il residuo di (CO rispetto ad (r C) sarà un sistema 

 puro (C 2 ); supponiamo ancora che (CO stesso sia un sistema puro. 



Indicando con ttj, tt 2 i risp. generi di (CO, (C 2 ), la curva spezzata C x -f - C 2 non 

 ha fuori dei punti multipli per le curve di (r C), altri punti multipli che i D punti 

 doppi intersezioni di 1(J C 2 (essendo (€,), (C 2 ) due sistemi puri residui un dell'altro 

 rispetto ad (r C)), quindi secondo la forinola di Noether che dà il genere d'una curva 

 spezzata si ha: 



TT'^TTj + TTo+D — 1. 



Ora il sistema aggiunto di (r C), ossia (r C -\~ C) è anche la somma (C 2 -f- (Cj 

 -f- C')) ossia è la somma di (C 2 ) e dell'aggiunto a (C 3 ). Sopra la curva generica C 2 

 (di genere tt 2 ) il sistema (C 2 -j- (Ci -\- C')) = (Cj -f- (C 2 -j- C')..) sega una serie g (forse 

 scompleta) di grado 



D + 2 n 2 — 2 



e però di dimensione 



D -j- iT 2 — 2 — w 2 (oj 2 > 0): 



se p -j— tt 1 — - 1 — ujj (uuj = b (CO 2r 0) 



è la dimensione di (G 1 -j- C), per un gruppo della serie g passano co p+7ri ~ e " 1 curve 

 di (C 2 -\- Cj -f- C) tra cui coP +;r i" 1 - a 'i spezzate nella C 2 ed in una curva arbitraria di 

 (G 1 -f- C) ; dunque la dimensione del sistema aggiunto ad (r C), cioè di (r C -j- C) = 

 (C 2 + Cj + C) vale 



P ~\~ TTj — )— TT 2 — (— D — 2 — UUj — uj 2 ; 



