RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



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ma % -f Tt 2 -4-D — 1 = n' r \ 



quindi è 



D(rC) = ui ? + b(Ci) (?>(C 1 ) = u) 1 ) 



ossia 



ò (r C) > b (Cj). 



Dunque la quantità b (Cj) relativa ad un qualunque sistema puro (Cj) non supera 

 l'analoga quantità calcolata per (/• C) dove si prenda r assai elevato. Perciò se il 

 b (r C) anziché crescere indefinitamente con r assume un valore massimo (che sarà 

 pur quello di b((r-{-s)C) pers>0), questo valore è un vero carattere invariantivo 

 della superficie; effettivamente se la F ha singolarità ordinarie in guisa che si pos- 

 sano applicare da un certo punto in poi le formule di postulazione di Noether per 

 calcolare le dimensioni dei sistemi delle superficie (di dato ordine) aggiunte alla F 

 (di ordine n), si verifica con un semplice calcolo che la dimensione del sistema ag- 

 giunto ad (r C) che contiene quello segato dalle aggiunte d'ordine n — 4 -{- r è (per r 

 assai elevato) 



> p 1 + TT r > — 1 



dove^j è un numero indipendente da r che esprime il numero virtuale delle super- 

 ficie aggiunte d'ordine n — 4 (linearmente indipendenti) e dicesi genere numerico 

 della F; si ha dunque: 



ò {rC) < p—p u 



e perciò il b (r C) ha un massimo K che esprime il massimo difetto di scompletezza della 

 serie segata sulla curva generica di un arbitrario sistema dal suo sistema aggiunto (e 

 si stabilirebbe essere = p — p x dimostrando che è completo il sistema segato sulla F 

 da tutte le aggiunte di ordine assai elevato) Ma ciò che a noi interessa è la 

 considerazione del caso in cui K = 0, e delle condizioni che permettono di trarre 

 tale conclusione, a cui vogliano giungere senza occuparci della natura delle singolarità 

 che la F possiede. 



Occorre premettere un lemma di geometria sopra una curva la cui dimostrazione 

 si compie facilmente usando di un ragionamento adoperato dal signor Castelnuovo 

 in un suo recente lavoro (2). Il lemma è il seguente : 



Sopra una curva piana d'ordine n e genere ir la minima serie g di grado 

 (r-|-l)n-f-2 (rr — 1) contenente tutti i gruppi composti dell'intersezione d'una curva ag- 

 giunta d'ordine n — 3 — j— r e dell'intersezione d'una retta, è la serie completa somma della 

 %m+2(v-i) se gata dalle curve aggiunte d'ordine n — 3 — |— r, e della g* segata dalle rette. 



(1) Così risulterebbe fissata in ogni caso la invariantività di pi che i signori Zeuthen (" Math. 

 Ann. „, IV) e Noether (" Mathem. Ann. Vili) hanno stabilito soltanto con restrizioni alle singo- 

 larità nascenti sulla superficie nelle trasformazioni considerate. Effettivi esempi di superficie aventi 

 il genere geometrico diverso dal numerico (comunque elevato) sono stati dati dal sig. Castelnuovo 

 (" Istituto lomb. „, 1891). 



(2) " Sui multipli di una serie lineare di gruppi di punti appartenente ad una curva algebrica „ 

 (" Circolo Mat. di Palermo „, t. VII). 



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