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FEDERIGO ENRIQUES 



Per dimostrare questo lemma osserviamo anzitutto che la serie g in questione 

 è certo contenuta nella serie completa segata sulla nostra curva C„ dalle C n -3-H(»-+i) 

 aggiunte d'ordine n — S -j-(r~j^l); basta quindi stabilire che è completo il minimo 

 sistema lineare contenente tutte le curve composte d'una G n -z+r (d'ordine n — 3 -f- r) 

 aggiunta alla C„ e d'una retta: infatti il sistema delle C-s+^+i) che sega la g sulla C„ 

 (comprese in esso sistema tutte le C„_3+( r +i) per un gruppo della g) è appunto tale 

 che contiene in sè tutte le curve composte d'una retta e d'una C n -s+. r e non può 

 essere completo se è scompleta la detta serie g. Ora per ipotesi fra le curve C„_3 + ( r +i) 

 vi sono quelle composte di una retta fìssa a e di una C„_3 +r che sono 



r(r— 8) 



e così pure quelle composte di una retta fìssa a' e di una C n -s+ r ; i due sistemi hanno 

 comune il sistema delle Cn-s-Kr— i) 1 & cu i dimensione è 



il/ i'\ i (r— l)(r— 4) 

 tc — 1 + (r — 1) n -f 5 % '■ 



e però il loro minimo sistema somma ha una dimensione 

 cioè 



n t / ì t\ i (r+l)(r— 2) 

 > n _ 2 -f (r -f - 1) n + S 



ma questo sistema è contenuto o coincide con quello delle C„_3+.(r+i) passanti per il 

 punto comune ad a, a', e poiché le C n _3+(r+i) seganti la g sulla C„ non passano tutte 

 per quel punto, la dimensione del sistema delle C„_3+(r+i) in questione è 



1 i / i t\ i (r + l){r— 2) 

 >tt — l+(r + l)^ + ^ '- 



e quindi è appunto la dimensione 



*^i + ( , + i). + ;fc±fifczS 



del sistema completo di £w#e le C n _3+( r +i) c dd. 



Ritornando alla questione precedente si ha come immediata applicazione del 

 lemma ora stabilito, che se il sistema (r C + C) aggiunto ad (r C) (dove r>l) sega 

 sulla curva generica C una serie completa, lo stesso accade per ((r -\- 1) C -|- C), e 

 poiché la differenza (^0) fra ò ((r -\- 1)C) e ò (rC) è la scompletezza uu della serie 

 segata da ((r-f-1) C) sulla C, si ha in tal caso 



ò ( r c) = b((r+l) C)=. 



= K. 



